問題（３月４日）の解答例

問題（３月４日）の解答例

 

問題１　u、vを実数とし、x=u+v、y=uv、u²+uv+v²≦1の３つの式を同時に満たす点(x,y)を図示せよ。

【解答】

　　

u、vは実数で、方程式t²−xt+y=0の解であるから（註）、

　　

よって、①と②を同時に満たすのは右図の通り。

（解答終）

 

（註）

u、vを解に持つ２次方程式は、解と係数の関係より、

　　

受験数学のテクニック！！

uとvの対称性、２次方程式の解と係数の関係、そして、判別式をうまく使えますかという問題でした。

 

この問題は、私の記憶に間違いがなければ、あの大学の問題なので、このあとに、求めた領域の面積を求めよという問題も付いていたのではないか(^^ゞ

 

 

問題２　写像f：(x,y)→(x+y,xy)によって、円のx²+y²=1内部はどこに写されるか。

【解】

u=x+y、v=xyとおくと、xとｙは実数だから、ｘとyを解とする２次方程式t²−ut+v=0は次の条件を満たさないといけない。

　　

また

　　

よって、①と②を同時に満たす領域は右図の通り。

（解答終）

 

あの大学が新しい問題を作り、大学入試の数学の問題として出題すると、すぐに真似をする大学が次々と出てくるようだにゃ。

問題の難易度は下がるけどさ。

　――問題１にはuvという項がついたけれど、問題２ではこれに相当する項が落ちていて、楕円から単位円に変わっている！！――

どうやら、数学の大学入試のトレンドは、あの大学が作るらしい（笑）。

伝え聞くところによると、その影響力は、難関私立の中学入試にまで及ぶとか。（小学の算数の範囲で解けるように問題を変える）

 

そして、受験生は、なぜ、こうなるのか分からぬまま、 「こういう問題はこういう風に解くものだ」と、ひたすら、その解法を憶えることに専念し、その修練に励むのであった。

 

ではあるが、
どうせお前らこんな解答（上の解答のような解答）が好きなんだろう？

だが、しかし、

xとyは実数だから、x−yも実数。

したがって、x−yの２乗は０以上！！