対称行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する

対称行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する

 

問題　２次の正方行列

　

は相異なる固有値をα、β（α≠β)を持つ。

αに対する固有ベクトルを、βに対する固有ベクトルをとするとき、とは直交することを示せ。

 

【解】

とする。

問題の条件より、

　　

したがって、

　　

よって、とは直交する。

ここで、

　　

（解答終）

 

なお、

　　

また、左上添字のtは転置行列をあらわす。

 

ととするときをAの転置行列といい、が成り立つとき、対称行列という。

したがって、は対称行列。

そして、このことから、

対称行列Aが相異なる解α、βをもつとき、αに対する固有ベクトルとβに対する固有ベクトルは互いに直交する

ことが証明された。

 

 

【ネムネコによる泥臭い解答】

（１）　b=0のとき

Aの固有方程式は

　　

問題の条件より、Aの固有値は相異なる２実根を持つので、a≠cである。

k=aのとき

　　

よって、固有ベクトルは

　　

k=cのとの、

　　

よって、固有ベクトルは

　　

したがって、とは直交する。

　　

（２）　b≠0のとき

Aの固有方程式は

この相異なる２実根をα、βとする。

k=αのとき

　　

したがって、このときの固有ベクトルは

　　

　

同様に、k=βのとき、

　　

よって、固有ベクトルは

　　

　

したがって、

　　

よって、とは直交する。

（解答終）

 

（※）

の固有方程式は

　　

（１）の解をα、βとすると、解と係数の関係より

　　

 

 

【ddt³さんの解答】

行列Ａの特性多項式＝0とおいたものは、

　　λ^2－(a＋c)λ＋ac－b^2＝0　　　(1)

だから、2次方程式の解と係数の関係より、

　　α＋β＝a＋c

　　αβ＝ac－b^2

　このαを固有ベクトルの定義に代入すると、固有ベクトルx＝(x₁，x₂)について連立一次方程式、

　　(a－α)x1＋b･x2＝0

　　b･x1＋(c－α)x2＝0

が成り立たなければならない。ところがα，βは(1)を満たすので、上記2式は定数倍を除いて同じ条件になる。そこで上段をとれば、

　　x＝(－b，a－α)　　　(2)

とできる。固有ベクトルの長さは不定だから。

　同様に(1)を満たすβでも、固有ベクトルy＝(y₁，y₂)について

　　(a－β)x₁＋b･x₂＝0

　　b･x₁＋(c－β)x₂＝0

なので今回は下段を取り、

　　y＝(－(c－β)，b)　　　(3)

をとれる。(2)，(3)からxとyの内積を取れば、

　　x・y＝b(c－β)＋b(a－α)

＝b((c－β)＋(a－α)

＝b((a＋c)－(α＋β))

ですが、解と係数の関係より、

　　α＋β＝a＋c

従って、

　　x・y＝(a＋c)－(α＋β)＝(a＋c)－(a＋c)＝0

となり、xとyは直交する。

（解答終）