第２２回 曲線座標

第２２回　曲線座標

 

直交座標x、y、zの関数

があるとする。

このとき、ヤコビアンが

であるならば、（１）はx,y,zについて解くことができて、

が得られる。

そして、x、y、zの数の一組にはu¹、u²、u³の数の一組に１対１対応し、u¹、u²、u³の組を座標と考えることができ、これを曲線座標という。

 

さて、直交座標系において

である３つのベクトルを考える。ここで、Pは領域Dの点Pにおける偏微分係数をあらわす。これによって、D内にベクトル場e₁、e₂、e₃が得られる。このとき、e₁、e₂、e₃の組を曲線座標(u¹,u²,u³)の基本ベクトルまたは基底という。

 

領域D内の１つのベクトル場Aが与えられたとする。このとき、Aを

とあらわすことができる。この３つの関数の列

をベクトル場Aの曲線座標(u¹,u²,u³)の反変成分という。

また、

をつくり、これを横に並べた行(A₁,A₂,A₃)をベクトル場Aの曲線座標の共変成分という。

 

さらに、９個の関数

を作り、これを成分に持つ対称行列を曲線座標(u¹,u²,u³)の計量行列という。

このとき、反変成分と共変成分の関係を与える

が成立する。

ここで、行列は行列の逆行列、すなわち、

である。

 

テンソル場Tを考える。

とおけば、９個の関数が得られる。これらを成分に持つ行列をテンソル場Tの曲線座標(u¹,u²,u³)に関する混合成分という。

また、

とすれば、９個の関数が得られ、これを成分に持つ行列をテンソル場Tの曲線座標(u¹,u²,u³)に関する共変成分という。