第２０回 斜交座標とベクトル

２０回　斜交座標とベクトル

 

空間に１次独立の３つのベクトルe₁、e₂、e₃があるとする。ただし、このいずれも零ベクトルでないとする。このとき、順序付けたを基底という。また、空間中の任意のベクトルAは

　　

とe₁、e₂、e₃の１次結合であらわすことができる。この係数を縦に並べたをベクトルAの基底に関する反変ベクトルという。

 

の９個の内積

　　

を成分とする行列を計量行列という。

　　

が成り立つので、計量行列は対称行列である。

また、

　　

だから、とのなす角度をとすれば、

　　

である。

 

２つのベクトルとをとると、

　　

計量行列は対称行列なので、ベクトルAとベクトルBの内積は

　　

となる。

 

行列の逆行列を、すなわち、

　　

とすれば、が対称行列なのでであるである。

また、

　　

であるから、

　　

ここで、記号はクロネッカーのデルタ

　　

である。

 

ベクトルAの次の３つの内積

　　

を作り、これを横に並べた

　　

をベクトルAの基底に関する共役成分という。

 

２つのベクトルとの共役成分をそれぞれ(A₁,A₂,A₃)と(B₁,B₂,B₃)とすれば、

　　

同様に、

　　

内積は交換法則A・B=B・Aが成立するので、

　　

と、内積A・Bは反変成分と共変成分であらわすことができる。

 

ベクトルの共役成分は

　　

で与えられるので、同様に

　　

が得られる。

これは反変成分と共役成分との関係を与える。

の両辺にをかけて、jについて和をとれば、

　　

したがって、

　　

も共役成分と反変成分の関係を与える。