［境界積分の積分部品（ラプラス型）］

［境界積分の積分部品（ラプラス型）］

前回の最後で、境界積分を解析的に実行すると決心したのでした(^^;)。そこで境界積分に必要な積分部品をトップダウンで特定し、一つ一つ解析的に積分してボトムアップする事にします。そういう訳でここでは、記述を系統立てる記号の定義に終始します。

　図-1に示した一つの境界要素kでの境界積分は、境界上で解関数ψとその外法線微分qを線形近似した場合、

　　

となりました。L_kは要素kの長さ、ψ_jやq_jは図-2に示した節点jとj+1でのψ(c)とq(c)の値です。

　(1)，(2)の境界未知数ψ_j+1，ψ_j，q_j+1，q_jの係数を、要素k上の未知量ψ_jやq_jに関する係数という意味で、

　　

　　

と書きます。(3)～(6)を使うと(1)，(2)は、

　　

と書けます。図-2に示した幾何学的な積分パラメータによって、b_j^(k)やh_j^(k)の具体的形を与える事が、当面の目標です。

　これも前回の結果から、

　　

です。(9)，(10)を(3)～(6)に代入します。

　　
　　
　式(11)～(14)を眺めると、

　　

 　　

という定積分を求積出来れば良いとわかります。ところで積分計算の一般的傾向として、「分母は出来るだけ簡単に、logの中身も出来るだけ簡単に」した方が、「計算としてまだマシ！」ってのがありますよね？。

　よって上記は、c－s＝tと置換して、

　　

　　

とやるのが安全です。式(19)～(22)の積分部品を拾うと、

　　

　　

　さらに定積分は不定積分がわかれば良いので、式(23)～(26)の不定積分を(t)付きで表し、以上を全部のまとめて、ボトムアップ公式として書き出します。

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　大変そうに見えますが、式(27)～(30)が計算できたとすれば、その結果を、式(31)～(34) → 式(35)～(38) → 式(39)～(42) → 式(43)，(44)と順番に代入して行けば良いだけです。こういう事はコンピュータの最も得意とするところです。
 　よってあと人間のやるべき事は、式(27)～(30)の不定積分を決定する事だけですよ(^^)。

（執筆 ddt³さん）