秘密の定理

秘密の定理

 

定理

閉区間[a,b]で定義された連続関数からなる関数列が一様有界で、連続関数f(x)が収束するならば、

　　

が成立する。

 

一様有界とは、

　　

となる定数Kが存在すること。

 

この定理がどれほど強力かというと、次の問題が簡単に解けてしまう。

 

問　次の値を求めよ。

【解】

（１）　

よって、は一様有界。

また、

　　

となるので、上の定理から

　　

 

（２）　

よって、は一様有界。

また、

　　

したがって、

　　

 

（３）　

したがって、は一様有界。

また、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

（１）くらいならば、0≦x≦1のとき、

　　

したがって、

　　

ここで、

　　

となるので、ハサミ打ちの定理より

　　

と解くことができるけれど、（２）、（３）はこのように簡単に解くことはできない。

 

しかも、[a,b]で連続な関数からなる関数列が一様収束ならば一様有界なので、一様収束の関数列に対してもそのままこの定理を使うことができる。

 

 

宿題　次の値を求めよ。

　　

 

（ヒント）

この問題は、

　　

に気づけば解けるが・・・。そして、ロピタルの定理を使えば・・・。

　　

とすると、

したがって、・・・。