境界要素法入門４：ねこ騙し数学：SSブログ

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境界要素法入門４　[境界要素法] [編集]

境界要素法入門４

［境界要素法-2］

　境界要素法の内点方程式。

　　 $bem-siki-001.png$

　 $bem-siki-002.png$ は解析領域R上の積分， $bem-siki-003.png$ はRの境界C上の線積分，φは

　　 $bem-siki-004.png$

Δφ＝g(x，y)を満たす未知関数です。qとはφとの外法線微分値。

　はδをデルタ関数として、

　　 $bem-siki-000.png$

を満たすものなら、何でもOKでした。そこで(2)を満たすとして出来るだけ簡単なものを考えます。これは実際に計算可能になる事が多いです。例えばとして(ξ，η)を中心に等方的なものを選び、境界条件は考えないとすれば、

　　 $bem-siki-005.png$

が容易に得られます。

　　http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/archive/c2305704962-1　　　(a)

　　の［コーシーの積分公式の周辺-1］

　(1)の入出力関係を整理します。は具体的に決められたので、右辺で *つきのものは全て既知関数です。領域積分項 $bem-siki-006.png$ はg(x，y)も既知関数なので、具体的に計算可能です。未知なのは、境界積分項に現れるφとqだけです。そうすると境界C上のφとqさえわかれば、(1)から未知関数φ(x，y)を計算できる事になります。

$BEM2-fig-01.png$ 　解析領域Rの境界Cを折れ線近似し、折れ線の角に節点jを配置した絵を想像して下さい。jは節点番号で、左回りにCを一周します。節点jとj＋1を端点として持つ線分を境界要素と呼び、それに要素番号kを与えます（左回りにCを一周）。節点jでのφとqの値は、とで表します。

　境界要素kの要素長が十分に小さければ、k上の関数値：φ(c)，q(c)，は、(と)および(と)で線形近似でもすれば、十分なはずです。，0≦t≦1として、

　　 $bem-siki-007.png$

　一方、特異点によるとを、で表します。iは特異点の場所を識別する番号で、i＝1，2，・・・で十分です。

　これらを(1)の境界積分項に代入し、要素k上で考えてやれば、

　　 $bem-siki-008.png$

となります。

　上記右辺の積分において、とは既知関数なので、要素k上で具体的にの形に書けます。tは積分パラメータ（0≦t≦1)です。

　従って右辺の積分は、具体的な数値とになります。に関するについての積分を，に関するについての積分をで表しました。

　境界積分全体の値は、これらの集計です。節点番号jについて和をとる事になります。

　　 $bem-siki-009.png$

ただしは、

は、

　　 $bem-siki-010.png$

です。

　ここで行列記法を思い出して下さい。i＝1，2，・・・だから、

　　 $bem-siki-30.png$ かつi＝1，2，・・・は、と書ける。

　　 $bem-siki-31.png$ かつi＝1，2，・・・は、と書ける。

・・・ですよね（← OKですか？(^^;)）。

　　 $bem-siki-014.png$

となります。

　(3)では、具体的に計算可能な既知量でした。よって(3)は、未知量とに関する連立一次方程式の形に、ほぼなっています。係数行列はとです。もし(3)を解いてとを定められれば、線形近似の形で境界上のφとqが得られた事になり、内点方程式(1)から未知関数φ(x，y)の近似解を求められます。左辺のさえ何とかなれば・・・。