ベクトル関数の発散

ベクトル関数の発散

 

ベクトル関数A(x,y,z)のx、y、z成分をとする。すなわち、

　　

とする。

このとき、

　　

をベクトル関数Aの発散と言い、記号

　　

などであらわす。

すなわち、

　　

である。

 

ハミルトン演算子∇は

　　

だから、ベクトル関数Aの発散∇・Aは

　　

と、ハミルトン演算子∇とベクトル関数Aの内積と考えることができる。

 

 

問１

　　

の発散を求めよ。

【解】

　　

（解答終）

 

 

問２　原点に対する位置ベクトルをrとするとき、次の発散を求めよ。

【解】

（１）

　　

だから、

　　

 

（２）　のx成分をとすると、。

　　

同様に、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

なお、

　　

は暗記物！！

 

 

ベクトル関数Aが

　　

の発散は、

　　

である。

　　

と書き、

　　

とおけば、これは微分演算子∇²をφに作用させたものと考えることができるから、

∇²をラプラス演算子、ラプラシアンと呼び、∇²のかわりに記号Δを使うこともある。

また、微分方程式

　　
はラプラス方程式と呼ばれ、これを満足する関数を調和関数という。

 

 

問３　原点からの距離をrとすると、

　　

であることを示せ。

【解】

　　

同様に、

　　

したがって、

　　

問２より

　　

よって、

　　

（解答終）

 

問３より、

　　

は、ラプラス方程式∇²=0を満たすので、調和関数である。

 

問題　φがrのスカラー関数であるとき、

　　

であることを示せ。