ネムネコのひとりごと

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数学の記号的に

　　

の「div・」というの少しマズイ。「div」の次に出てくる「・」はベクトルの内積をあらわしているのだろうから。

のとき

　　

と定義されるので、うるさいことを言うと、記号的に「div・」はちょっと問題がある。

こうするのならば、

　　

あるいは、

　　

と定義し、

　　

とするべきだと思うにゃ。
オリジナルの原稿を尊重し、この部分はあえて直さなかったけれど・・・。

 

なお、ガウスの発散定理とは、

　　

積分の下添字に出てくるAは（体）積分をする三次元の領域、∂AはAを取り囲む閉曲面。nは微小な閉曲面dSに垂直な単位ベクトル、つまり、法線ベクトル。

なんだかわからないベクトル場aがポテンシャルφを持つとすると、

　　

したがって、⑨の左辺の積分の中身は

　　

になる。

もし、Aの中に湧き出しや吸い込みのようなものがないとすると、これは０なので、

　　

になる。

三次元のラプラス方程式だにゃ。

 

さらに何だかわからない式を書く。

　　

この右辺にガウスの発散定理を用いると、

　　

したがって、

　　

右辺の積分と微分の順序の交換ができるとすると、

　　

このあと、すこしオマジナイを唱えないといけないのだけれど、そのオマジナイを唱えると、

　　

これは何かというと、流体力学の連続の式（質量保存則）と呼ばれるもの。ρは流体の密度で、vは流体の速度ベクトル。

 

⑨²のρvをjとすり替えると、

　　

電磁気学の電荷保存則になる。ρは電荷の空間密度で、jは電流密度ベクトルだケロ。

 

⑨³は広く輸送現象(Transport Phenomena)で成立する最も重要な方程式の一つなんだにゃ。

そして、輸送現象を統一的に取り扱った日本語の書籍はほとんどなく、こうしたことを真面目に勉強しようと思ったら、英語の教科書を買って自分で勉強するしかないのであった。