【特別寄稿】 コーシーの積分公式の周辺 ２

【特別寄稿】　コーシーの積分公式の周辺 ２

 

　複素平面をz＝x＋iyで表します（i²=−1）。

　複素積分∫dz/zを調べるために、まずdz/zを計算します。dz＝dx＋idyです。

　　

ですが、分子分母にx－iyをかけて分母を実数化します。です。

　　

　ところでx/r²ってなんでしょう？。

　 　　

ですよね？(^^)。

同様に、

　　

です(^^)。

ここで内積をac＋bd＝(a，b)・(c，d)と書く事にして、上記2つを使うと、

　　

と書ける事がわかります。

　複素積分は線積分です。積分路Cの接線線素ベクトルは(dx，dy)になります。(dy，－dx)は、それを右に90°回転させたものです。Cを閉曲線とすれば、すなわち外法線線素ベクトルです。(dy，－dx)＝ds。

 

　いま勾配を∇＝(∂/∂x，∂/∂y)、歪勾配を∇'＝(∂/∂y，－∂/∂x)で定義し、Cを領域Rの境界とすれば、

　　

になります。ガウスの発散定理から、r＝0を除いて、

　　

 

　div・∇＝∇・∇＝Δであり、div・∇'は直接計算すれば、

　　

になります（∇'は2次元のrotです）。

　従ってr＝0を含まぬ任意の領域で

　　

なので、Rがr＝0を含む場合でも、Rを半径εの円に取り直すのが可能とわかります。

　dcをCの線素として、ds＝(cosθ，sinθ)dcの形に表すと、

　

と書けます。C上ではr＝ε（ε≠0）に注意し、

　　

になる事に気づければ、

　　

が得られます。εは任意でした。

　よってε-δ論法で、Rにr＝0を含めた時も、

　　

が言えます（rotのdivは0が言えた）。

　そういう訳で、

　　

になります。

 

　ところが前回の話から、は、

　　

を満たすのでした。

従って、

　　

となります（Rがr＝0を内点として含む場合）。

 

　「デルタ関数がいたぁ～！」と、自分は勝手に大喜びしました(^^;)。

　後は、
　　

を導くだけです。div(1/z)はデルタ関数なんだから、こんなの明らかに違いないと、喜び勇んで計算にかかりました・・・(^^;)。

 

（投稿　ddt³）