第13回 3重積分 [重積分]
第13回 3重積分
2重積分と同じように、3重積分、そして、n重積分を定義することができる。基本的に同じなので、3重積分をその代表としてやりますにゃ。
閉区間で有界な関数f(x,y,z)に対して、Kの分割を細かくしたリーマン和が一定の値に収束するとき、f(x,y,z)は積分可能であるといい、その極限を
とあらわす。
そして、定数関数1が有界な集合上で積分可能であるとき、体積確定といい、
をΩの体積という。
そして、3重積分を計算するときには累次化して積分する。
定理
f(x,y,z)がで連続であれば、
なお、
のことなので注意してください。
上の定理は積分領域が直方体の場合で、より一般のΩの場合は次のようになる。
f(x,y,z)がの積分領域Ωで連続とする。xy平面上の積分領域DとD上の連続関数により、Ωが縦線集合
としてあらわせるとき、
さらに積分領域DがD上で連続な関数によって
とあらわされるとき、
となる。
こういうふうに累次化して積分する。
何を書いてあるかわからないと思うので、問題を解いて実例を示すにゃ。
問題1
【解】
なのだけれど、これは次のように計算してよい。
上の右辺はただの積分の掛け算なので、累次積分と区別するために、「・」を付けたにゃ。
2重積分でも計算量が多いのに、3重積分はさらに計算量が多くなるので、大嫌いだにゃ。
問題2
【解】
Ωは次のように縦線集合に書き換えることができる。
積分領域Dは
よって、
3重積分は、こんな簡単なものでも、とにかく計算が大変です。
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