第１２回の問題３を１変数関数で求めるには・・・

重積分の第１２回の問題３の面積を１変数関数の積分でどうやって求めるかというと、細かい議論が少しいるのだけれど、その議論を、まずは、すっ飛ばすことにするにゃ。

図を見ればわかるけれど、この図形はx軸に関して対称だから、上半分、つまりｙ≧０の部分の面積を求め、これを２倍すれば求める面積になる。

ということで、

　　

を計算し、これを２倍すれば、求める面積になる。

何処からこんなのが出てきたかというと、x=rcosθ、y=rsinθとr=1–cosθから

　　

となり、あとは、置換積分の

　　

というありがたい式からこうなる。
　―――実は、ここで少しズルをしている(^^ゞ　詳しくは、細かい議論で―――

で、 0≦θ≦πで

　　

となることから、xは、θ=π/3の時に最大で、最大値は1/4となる。

少し細かい議論というのは、

　　

と言うもの。

これは下の図を見てもらうとよくわかると思う。

求める面積は、青の部分で、これは黄色の部分から紫の部分を引いたもの。

y+という関数は−2≦ｘ≦1/4の関数、y-という関数は0≦x≦1/4・・・。
こういうちょっと細かい議論をしないといけない。

計算はしないぞ。真面目に計算をすると、同じ答えるになるはずだにゃ。上半分の面積は3π/4だから、面積は3π/2になるはずだ。

ちなみに、(1/4,√3/4)は変曲点。

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答が一致することの検算は、台形公式でやってある。

今回は、C言語のプログラムを・・・。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) {
        return (1-cos(x))*sin(x)*(-sin(x)+2.*sin(x)*cos(x));
}
double daikei (double a, double b, int n) {
    double s, h;
    int i;

    h=(b-a)/n;
    s = (f(a)+f(b))/2;
    for (i=1;i < n; i++) {
        s= s+ f(a+i*h);
    }
    return s = s*h;
}
int main() {
    int n;
    double pi;
   
    pi=4*atan(1.0);
    n=100;
    printf("s=%f\n", daikei(pi,0,n));
    printf("kotae=%f\n",3.*pi/4);
    return 0;
}

１００分割で計算すると、3π/4≒2.356194となるにゃ。
だから、間違っちゃ〜いない(^^ゞ

台形公式のBASICのプログラムは
http://nemuneko-gensokyou.blog.so-net.ne.jp/2015-04-09-3
に書いてある。
def f(x)=ホニャララ
の部分と、aとbの値を変えればいいにゃ。