第５３回 留数定理の実積分への応用２

第５３回　留数定理の実積分への応用２

タイプⅢ
　

f(z)は複素平面の上半平面Imz≧0で有限個の極を除いて正則であり、またはとする。

このとき、

　　

である。

これを知っていると、

例題

　　

という積分が簡単に計算できるんだケロ。

この場合、

　　

とおけば、

　　

となり、タイプⅢの条件を満たしている。

　　の上半平面の極はz=iaのみ。そして、

　　

だから、①より積分の値は

　　

こういうふうに簡単にこの積分の値を求めることができる。

ちなみに、

　　
と計算してもいいし、z=iaは1位の極なので

　　

と計算して求めればいい。

このあたりの計算法は留数の求め方を読み返してほしい。

また、f(x)が偶関数のとき、①式から

　　
f(x)が奇関数のとき

　　

f(x)が偶関数のとき、f(−x)=f(x)となるにゃ。

で、

　　

で、x=−tとすると右辺第１項は

　　

ということで、

　　

とかやれば、②式が出るにゃ。

②の時と同じようにやったんじゃ芸がないので、③に関しては少し変えるケロ。
　　

となる。右辺の第２項の積分に関してはx=−tとおいて置換積分すると

　　

ということで、

　　

となるにゃ。

問題１　次の値を求めよ。

　　

【解】

　　

は偶関数。

②式と例題の結果を使って

　　

問題２　次の値を求めよ。

　　

【解】

　　
これは奇関数なので③を使うケロ。

答はたぶん

　　

だケロ。

さてさて、①の証明。

十分大きなrを取ってf(z)の上半平面上の極を半円と実軸[−r,r]の間の領域にすべて収めるようにする。

そうすると、留数定理より

　　

となる。

　　

ということで、証明すべき内容は

　　

そして、これは次回のジョルダンの補助定理へと続くのであった。