第５１回 第５０回のやり残し

第５１回　やり残し

前回、５０回の②の証明をするにゃ。

αをg(z)の１位の零点とする。ただし、h(α)≠0とするにゃ。

そして、このz=αを中心として、h(z)とg(z)をテーラー展開すると、

よって、

となる。

となるからだにゃ。

で、

の解だけれど、

となる。

で、留数定理が実積分と具体的にどう関係するか、ちょっとやってみるにゃ。

問題　次の積分を求めよ。

【解】

この積分をIとする。

で、

となる。

こうすると、θ=0〜2πは原点を中心とする単位円｜z｜=1になるよ。

ということで、

となる。

の極はz=a,1/a。よって留数は、５１回の②式より―――つまり、分母だけｚで微分する―――

となるにゃ。

ここで、気をつけないといけないのが原点を中心とする半径1の円｜z｜=1にどちらの留数が含まれているか。

｜a｜>1のときは、z=aは円の外、z=1/aは円の中にあるので、留数定理より、

｜a｜<1のときは、z=aが円の中にあるので

となる。

２つ合わせて書くと、

となる。
（問題終わり）

この積分は、普通の微分積分の知識を使って求めようとしても簡単には求まらないにゃ。