第５０回 留数を求める方法

第５０回　留数を求める方法

留数とは、孤立特異点αを中心とする関数f(z)のローラン展開を

　　
とした時の−１次の係数のことで

　　

のことですにゃ。また、αにおける留数をRes(α)と簡単にあらわす。

と、前回の内容を復習し、今回は留数を求める方法を紹介しますにゃ。

最もオーソドックスな方法としては、実際に関数f(z)を孤立特異点αのまわりでローラン展開するというものがある。たとえば、次のような関数の場合を考えてみるにゃ。

　　

この関数の特異点はz=0だにゃ。

この関数の分子であるは複素平面全体で正則だから、z=0で次のようにテーラー展開（マクローリン展開）ができる。

　　

だから、f(z)のローラン展開は次のようになる。

　　

よって、z=0における留数は

　　

となる。

で、前回、１位の極αにおける留数の求め方を紹介したにゃ。その方法とは、

　　

というものだにゃ。

上の関数の場合だと、z=0は１位の極だから、この方法を使うことができる。

　　

当然の話だけれど、同じ値になる。

１位の極αにおける留数を求める方法は次のようなものがある。

g(z)をαを１位の零点とする正則関数、h(z)をαを零点としない正則関数とするとき、z=αにおけるh(z)/g(z)の留数は

　　

である。

この証明は次回に回すことにするケロ。

この方法を使うと、次のように計算できるケロ。

　　

とすると、g(z)は正則であり、零点はα=0である。h(z)は正則でz=0でh(0)=0にならないのでz=0は零点ではいので②を使うことができる。

　　

となるにゃ。

当然のことながら、求めた値は同じになる。

また、この方法を使うと、前回やった

　　

の特異点での留数は次のように簡単に求めることができる。計算を簡単にするために、特異点をαとするにゃ。

　　

α=±iaだから、これを上の結果に代入すれば良い。

この場合くらいならば、①の方法でも②の方法でも大差はない。

だけど、

　　
となると、計算量が全く違ってくるにゃ。

計算を簡単にするために、a=1とするけれど、②を使うならば、

　　

となるにゃ。そして、あとは

　　

を解いて、代入すればいい。

ここで改めて言うけれど、①と②が使えるのは、αがf(z)の１位の極の場合だけだにゃ。１位の極以外では使えないので注意するケロ。

で、より一般のn位の極の場合は、
αをn位の極とすると、そのまわりのローラン展開は

　　

となるので、

　　

これを(n–1)回微分し、z→αという極限をとると、生き残るのはだけなので

　　

となるにゃ。

問題　次の関数の特異点における留数を求めよ。

　　

【解】

　　

なので、z=0は２位の極、z=1は１位の極である。

z=1における留数Res(1)は、①より

　　

z=0における留数は、③より

　　

となる。