第４９回 留数と留数定理

第４９回　留数と留数定理

今まで長々と話してきた複素解析は、今回お話する「留数定理のためにあると言っても過言ではない」ほど重要な定理。

留数
αを関数f(z)の孤立特異点とし、αを中心とするローラン展開を

　　
とするとき、この整級数の–1次の係数を留数という。
これを

　　
またはRes f(z)とあらわす。

ローラン展開の定義より

　　

となる。ここで、Γはその周上および点αを除いた内部でf(z)が正則である閉曲線である。

①式を留数の定義に使ってもいいにゃ。

①式を見ればすぐにわかるけれど、

　　

だと言っているんだケロよ。f(z)が孤立特異点αをグルッと取り囲む閉曲線Γの内部で正則であれば、Γに沿っての周回積分は留数に2πiを掛けたものだと言っているんだケロよ。どんな方法でもいいから留数を求めさえすれば、積分なんて面倒な計算をしなくていいってことだにゃ。スゴイと思わない。

ずっと前に

　　

のとき、αを中心として半径r>0の円Cに沿ってf(z)を積分すると、

　　

という話をしたにゃ。

f(z)=1/(z–α)の–1次の係数の係数は１だから留数は１だにゃ。だから、これに2πiを掛けたものが積分の値になっている。n=2,3,…のときは０だから、0になっている。

なお、この時、αが孤立特異点になっているのはわかるよな？

しかし、積分路である閉曲線Γの内部にf(z)の孤立特異点が一つでなく、複数個ある場合もあるにゃ。

ということで留数定理。

留数定理

定理（留数定理）

関数f(z)が単一閉曲線Cを境界とする領域に有限個の孤立特異点を持ち、これら以外ではCを含めて正則であるとき、

　　

 

【証明】
図のように、各のまわりに互いに交わらないような円をかく。

この各について
　　

が成立する。
また、コーシーの積分定理の系１より

　　

が成り立つので、
　　

となる。

（証明終わり）


では、どうやって留数を求めるか。これには幾つか方法がある。

f(z)の孤立特異点αを中心とするローラン展開を求め、その係数を求めるというのがもっともオーソドックスな方法だろうけれど、これは一般的にかなり大変。

ということで、今回はもっとも簡単な方法を紹介するにゃ。

αがf(z)が１位の極の場合、αにおけるローラン展開は

　　
という形になっている。

だから、上の市の両辺にz–αを掛ける。そうすると、

　　
となるので、z→αという極限をとると

　　

となる。

では、１位の極における留数を求める簡単な問題を解いてみるにゃ。

問題　次の関数の特異点における留数を求めよ。

　　

【解】

　　

となるので、z=±iaは１位の極である。

よって、

　　

となる。

ちなみに、極というのは、1/f(z)が０になる点だにゃ。第４７回の系を見てほしいニャ。

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コーシーの積分定理の系１
Cは領域Dの中にある閉曲線であり、はCの内部にあって、かつ互いに他の外部であるような閉曲線である。さらに、Cとで囲まれた領域およびその境界はDに含まれている。f(z)が領域Dで正則であるとき、次の等式が成り立つ。
　　

「第４７回特異点」の系

孤立特異点αがf(z)の極であるための必要十分な条件は、αが1/f(z)のn位の零点であることである。