第２６回 平面曲線２ [偏微分]
第２６回 平面曲線２
前回に続きまして、f(x,y)=0で表される平面曲線をやりますにゃ。
で、まず、前回のおさらい。
関数f(x,y)が
級（偏微分可能で、偏微分した関数が連続）であり、点(a,b)をこの曲線上の点とするにゃ。
このとき、
が同時に０にならない点(a,b)を通常点、
になる点(a,b)を特異点というケロ。
さらに、(a,b)が通常点であるならば、この点(a,b)での接線はただ一つで
になるケロ。
ここまでが前回の復習。
で、f(x,y)を
級関数、点(a,b)をf(x,y)=0の特異点とする。それで、
が同時に０にならないとき、この点(a,b)を２重点という。
それで、
とするとき、
２重点は
（１）D<0ならば結節点で、点(a,b)で相異なる２接線が引ける （２）D=0ならば通常は尖点で、点(a,b)で接線は１本
（３）D>0ならば孤立点で、その小さな近傍での曲線の部分は点(a,b)である
何故かは知らないにゃ。
ちなみに、
結節点は
この図形の点(0,0)のところ。
の原点(0,0）。
孤立点は
の原点だにゃ。
で、問題を一つ。
問題 次の曲線の特異点を調べ、曲線の概形を描け。
【解】
とおいて、偏微分するにゃ。
だにゃ。
このことから、
として、特異点を求めるにゃ。
点(0,0)が曲線
にあることは明らかだけれど、(0,−2a/3)が曲線上にある保証はないケロ。
となる。
このことから、(0,−2a/3)が曲線上の点であるためにはa=0となり、結果的に、特異点は(0,0)だけとなるにゃ。これで特異点は求まったにゃ。で、判別式Dを使って、特異点の種類を調べるにゃ。このためには２階偏微分が必要なので、計算するにゃ。
これから、点(0,0)が２重点あることがわかるにゃ。
さらに上の結果を使って、点(0,0)での判別式Dの値を求めると
となる。
以上のことから、点(0,0)は
a>0ならばD<0で結節点
a=0ならばD=0で尖点
a<0ならばD>0で孤立点
となるケロ。
で、前の３つの図はa=1、a=0、a=−1ののものなんだにゃ。
腕に自身のある奴は、次の宿題を解いてみそ。
宿題 次の曲線の概形を描け。
16 x^6+84 x^5 y-48 x^5-1167 x^4 y^2+60 x^4 y+96 x^4+380 x^3 y^3+588 x^3 y^2+120 x^3 y-112 x^3+70608 x^2 y^4-57108 x^2 y^3+16560 x^2 y^2-2076 x^2 y+96 x^2-184320 x y^5+122496 x y^4-13152 x y^3-5712 x y^2+1248 x y-48 x-3840 y^4+2432 y^3-240 y^2-96 y+16=0
の 特異点達を求め 「その名」を 明記願います；
https://www.youtube.com/watch?v=Dbwv_uo33qc
by ★ (2016-10-25 15:14)
コメントありがとうございます。
見るからに計算が面倒そうなので、
解くの嫌です。
by nemurineko (2016-10-25 21:53)
C1: 27 x^4 - 328 x^3 y - 20 x^2 y^2 + 240 x^2 y - 1472 x y^2
- 768 x y - 80 y^3 + 9344 y^2 - 256 y = 0
の 特異点達を求め 「その名」を 明記願います；
https://www.youtube.com/watch?v=Dbwv_uo33qc
>見るからに計算が面倒そうなので、解くの嫌です。
そう おっしゃらず
嫌よ嫌よも好きのうち で ありましょう。
是非 獲た 特異点のうちの一つを 選び それに 対応する
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2016-07-31-1
の C2 ; y - (x^4 - 4*x^3 + 2*a*x^2)=0 (a= -1/2)
の 二重接線 T を 「スパッ」と 求めて下さい.
ついでに FAQ ; C2 とT で囲まれる部分の面積を積分で求めて下さい;
実は C1 と C2 は 密切な 関係があるので 是非研究して
その 研究成果を 今後数年に亘り 発表願います；
by ★ (2016-10-25 23:25)
コメントありがとうございます。
ご存知ないようですが、このブログにはいくつかの掟があります。
１ 係数は１桁
２ 原則として２桁の四則演算はしない（２桁の数同士の掛け算はまず出てこない(^^ゞ）
３ 方程式は２次方程式まで。解は整数解、または1/2、1/3といった簡単な分数の解
４ 整関数は３次関数まで
などなど。
「面倒な計算は、わたしは絶対にしない」という神聖にして不可侵の掟があって、それを自らに課しております。
ですから、４桁の数など論外です。
第一、ネコの世界に、そんな大きな数は存在しません。
１０ですら、ネコはこの処理に困っているほどですから。
by nemurineko (2016-10-26 11:29)
>３ 方程式は２次方程式まで。解は整数解 なる 「掟内の↓問達」；
>f(x,y)=0で表される平面曲線をやりますにゃ。
[[此処まで「平面曲線を やる!^(2016)」と宣言する人は世界に殆ど∃しない]]
この宣言文の 何処にも 禁欲の掟は にゃい。
また 「掟は破る 為に ∃」 す。
で 容易過ぎる 低次の2次曲線 の 双曲線 を 二つ；
>うちの女房にゃ髭がある! - VOCALOID
双曲線 C1; 4 x^2-20 x y+4 x+y^2+14 y+1=0 には 漸近線が在る!。
漸近線を 求めて下さい；
●●獲た漸近線を用いて C1 を 表現をして下さい；
双曲線 C2; x^2-x y+3 x+2 y+2=0 には 漸近線が在る!。
漸近線を 求めて下さい；
●獲た漸近線を用いて C2 を 表現をして下さい；
-------------------------------------------------------
C2 上の格子点を ●を 用いて 容易に獲られることを示して下さい；
C1 上の格子点を ●●を 用いて 容易に獲られますか?；
獲られないなら 他の発想を 明記し
C1上には格子点が無数に在ることを示し , 69点明示下さい；
by ★ (2016-10-26 16:58)