第７回 開球と集合の内点

第７回　開球と集合の内点

§１　開球

距離dを決めることが可能な集合Xがあって、a∈Xとする。さらに、εを正の実数とする。

このとき

　　

を開球（開球体）という。

dを通常の距離（ユークリッド距離）とすると、一次元だと、開球は

　　

という開区間になる。

開球に球という言葉がついているけれど、これはいわゆる三次元の球体、たとえば、原点を中心とする半径ｒの球

　　

とは違う。

１次元、２次元、３次元といった次元から離れたもっと一般的な球で超球。

２次元で、デカルト直交座標系における点aの座標を

　　

とし、点xの座標を

　　

とすると、は
　　

という点を中心とする半径εの円の内部、開円板になる。

同様に３次元ならば、

　　

になる。

そして、これから話す内容は、次元や距離の決め方の違いを超えたもっと一般的な話。
また、この開球のことをaのε近傍と呼んだりもする。

§２　集合の内点

A⊂XというXの部分集合があるとする。

a∈Aに対して

　　

とすることの出来るε>0が存在するとき、aをAの内点と呼ぶ。

たとえば、A=(0,1)⊂Rという開区間、つまり、0<x<1、より正確に書くならば

　　

があるとする。

このとき、任意のa∈Aに対して

　　

とεを取ると、

　　

となる。

仮に、a=1/4にすると、ε=1/4だからは

　　

となるので、

　　

となる。

このことから、1/4は(0,1)の内点ということになる。

では、閉区間[0,1]、つまり、0≦x≦1の内点はどうなるか。
(0,1)⊂[0,1]だから、a∈(0,1)が[0,1]の内点であることは、先にやったことから明らかだろう。
すると問題になるのは、a=0とa=1。

0のε近傍は

　　

となる。で、例えば、ε>0、x=−ε/2をとると、εをどんなに小さく取ったとしても

　　

になってしまう。

もし、[0,1]に属するとすれば、

　　

となって、ε>0に反してしまう。

よって、a=0は[0,1]の内点ではない。
では、a=1はどうか。もしa=1が[0,1]の内点だとすると、

　　

となるε>0が存在することになる。

　　

で、0<ε/2<εなのだから、

　　

しかし、

　　

にならない。

もし、なるとすれば、

　　

ε>0に反してしまう。

よって、a=1は内点ではない。

ということで、
[0,1]の内点は(0,1)ということになる。

Aの内点の集まりをAの開核やAの内部とかいって、記号でやなどで表す。

このAの右肩に付いているiを開核演算子などと呼んだりする。

これは、i:A→Aという写像にみなすことができるので。

つまり、

　　

というわけだ。

ちなみに、を難しく書くと

　　
以上のことから、(0,1)は[0,1]の内部だ、開核だということになる。

つまり、

　　

というわけ。

そして、

　　

次回により詳しくやるけれど、

　　
となる集合を開集合という。

(0,1)は開集合。

そして、開集合の補集合を閉集合と呼ぶ。
で、[0,1]は閉集合。
何故、[0,1]が閉集合になるかといえば、(−∞,0)∪(1,∞)が開集合で、[0,1]はこの補集合になっているからだ。