面白そうに思えたので、解いてみた

ねこ騙し数学　面白そうに思えたので、解いてみた


ねこ騙し数学の記事にするべく、ネムネコが高校時代に使っていた参考書をチラッと見てみる。

で、

「ちょっと、良くねぇっ」と思う問題があったので、解いてみた。

 

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問題１　xの関数f(x)について、次のことが成り立っているものとする。

ただし、Pは

である。

（１）　導関数f'(x)を求めよ。

（２）　f(x)を求めよ。

（３）　f(x) の極値を求めて、グラフの概形を書け。

【解答】

（１）

になるから、h ≠ 0 であれば

となる。

で、h → 0 の極限を取れば、

（２）

（３）f'(x) = 0 とし（←これは極値の必要条件）、このxを求めると、

となる。

これをもとに増減表を書くと、

 

x	・・・	－1	・・・	0	・・・	1	・・・
f'(x)	－	0	＋	0	－	0	＋
f(x)	減少	0（極小）	増加	1（極大）	減少	0（極小）	増加

 

となる。

グラフは

増減表にあるf'(x) の符号が分からない人は、

という３次関数のグラフを見れば分かると思うけろ。

 

極大、極小の判定に、二階微分の符号を使ってもいいケロ。

だから、x = 0 のときf(x) は極大、 x = ±1 のとき極小となるにゃ。

 

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問題２　f(x)は連続な第二次導関数f''(x) をもつ関数で、f''(a) ≠ 0 とする。

平均値の定理によれば、

となるθが存在するが、このθがｈに関係なく一定であるとすれば、

でなければならないことを示せ。

【解答】

①式をｈで微分すると、

で、ｈ ≠ 0 ならば、

で、

上の式のh → 0 という極限をとると、

なので、

となるケロ。

 

 

微妙ではあるが、これは

 

 

問題３ 　fが級の関数ならば、

とするとき、

であることを証明するケロ。

 

の解答になっているんだわな～。

 

ちなみに、fが級の関数とは、

f(x)は連続な第二次導関数f''(x) をもつ関数

のことでおまっ。