ベクトル関数とその微分

ベクトル関数とその微分

 

実数Rの部分集合Dに属する点tに対して、実関数x(t)、y(t)、z(t)が与えられているとき、ベクトル(x(t),y(t),z(t))を考えることができ、このベクトルF(t)=(x(t),y(t),g(t))をDからR³への１変数ベクトル値関数、または、ベクトル関数という。

 

Lを定ベクトル、t₀を一定の値とするとき、

　　

ならば、tがt₀に限りなく近づくとき、F(t)はLに限りなく近づくといい、また、LはF(t)の極限といい、

　　

であらわす。

イプシロン・デルタ論法で書くならば、

任意のε>0に対して、あるδ>0があって

　　

が成り立つとき、

　　

とあらわす。

 

また、

　　

が成り立つとき、F(t)はt=t₀で連続であるという。また、区間Iのすべての点でtで連続であるとき、F(t)はIで連続であるという。

イプシロン・デルタ論法による、ベクトル関数F(t)のt=t₀における連続の定義は次の通り。

任意のε>0に対して、あるδ>0があって

　　

が成り立つとき、F(t)はt=t₀において連続であるという。

 

ベクトル関数F(t)に関して、次の極限

　　

が存在するとき、F(t)はt=t₀で微分可能という。また、この極限値Aをt=t₀における微分係数といい、

　　

であらわす。

 

定理

　　

とすると、次が成立する。

（ⅰ）　

（ⅱ）　F(t)は連続⇔x(t)、y(t)、z(t)は連続

（ⅲ）　

 

この定理はほとんど明らかだと思うので、（ⅰ）だけを証明することにする。

 

【略証】

（ⅰ）　ならば、

　　

逆に、
　　
ならば

　　

（証明終）

 

 

ベクトル関数の微分については、実関数の微分と同様に次の公式が成り立つ。すなわち、A=A(t)、B=B(t)をtのベクトル関数m=m(t)をtのスカラー関数とすると、

　　

である。

 

例１　Cが一定のベクトルのとき、
　　

 

例２　mが定数のとき、
　　

 

 

問題１　Aをtのベクトル関数とするとき、次のことを示せ。

（１）　
　　

ここで、A²=A・Aとする。

（２）　｜A｜が一定であるとき、A とは直交する。

【解】

（１）

　　

 

（２）　｜A｜は一定だから、A²=A・A=｜A｜²も一定。

したがって、

　　

また、（１）の結果より

　　

よって、A とは直交する。

（解答終）

 

 

問題２　

　　

【解】

　　

（解答終）

 

 

問題３　A(t)の微分係数をAの方向とこれに垂直な方向とに分解せよ。

【解】

Aと同じ方向の単位ベクトルをa、Aの大きさをAとすると、

　　

aは単位ベクトルだから問題１より、aとは直交するので、

　　

である。

（解答終）

 

A(t+Δt)とA(t)のなす角をΔθ、単位ベクトルaの増分をΔaとすると、

　　

と同じ方向の単位ベクトルをbとすると、

　　

だから、問題３の（１）は

　　

である。

 

 

ベクトルの内積、外積

ベクトルの内積、外積

 

§１　ベクトルの内積（ベクトルのスカラー積）

 

ベクトルa、bの大きさをa、b、そのなす角をθとするとき

　　

をaとbの内積といい、記号a・bや(a,b)などであらわす。すなわち、

　　

である。

内積はスカラーで、bのaへの正射影を、aのbへの正射影をとすれば、

　　

である。

a、bがともに零ベクトルでないとき、（１）式より、内積はθが鋭角ならば正、直角ならば0、鈍角ならば負である。また、a、bのいずれかが零ベクトル0であるとき、内積は０である。

ベクトルの内積に関しては、交換、結合法則が成り立つ。すなわち、

　　

mをスカラーとすると、さらに、

　　

が成り立つ。

 

先に述べたように、ベクトルaとベクトルbのなす角θが直角のときa・b=0である。

逆にa・b=0のとき、

　（ⅰ）　aとbのなす角θが直角

　（ⅱ）　a=0またはb=0

である。

 

特に、基本ベクトルi、j、kに対しては

　　

である。

したがって、

ベクトルa、ベクトルbの成分を(a₁,a₂,a₃)、(b₁,b₂,b₃)とすれば、内積a・bは

　　

で、aとbのなす角の余弦は、（１）、（２）式より

　　

 

問１　a=2i–3j+5k、b =–2i–2j+2kが垂直であることを示せ。

【解】

　　

よって、垂直である。

（解答終）

 

問２　a=2i–3j+kとb=3i–j–2kのなす角を求めよ。

【解】

　　

（解答終）

 

問３　a=2i–3j+kのb=3j–4k上への正射影を求めよ。

【解】

aのb上への正射影は

　　

である。

よって、

　　

（解答終）

 

 

§２　ベクトルの外積（ベクトルのベクトル積）

 

平行でない２つのベクトルa、ｂを隣り合う２辺とする平行四辺形をもとに

（１）　大きさは、この平行四辺形の面積に等しい

（２）　向きは、この平行四辺形のある平面に垂直で、aからbへ右ネジをまわすときネジの進む方向と同じ

であるベクトルを作る。

このようにaとbから作ったベクトルをaとbの外積、または、ベクトル積といい、記号a×bであらわす。

aとbのなす角をθとすると、外積の大きさは

　　

である。

aとbが平行のとき、およびaまたはbが零ベクトルであるとき、

　　

と定義する。

a×b≠0のとき、a×bはb×aと大きさが等しく向きが反対だから

　　

すなわち、ベクトルの外積は交換法則が成立しない。

しかし、分配法則は成り立ち、

　　

さらに、

　　

 

i、j、kを基本ベクトルとすると、

　　

ベクトルaとベクトルbの成分をそれぞれ(a₁,a₂,a₃)、(b₁,b₂,b₃)とすると、外積は、分配法則が成り立つので、

　　

これを行列式で書くと

　　

である。

 

 

曲率円（接触円）を求める

曲率円（接触円）を求める

 

曲線y=f(x)上の点P(x₀,f(y₀))における曲線y=f(x)の曲率円（接触円）を求める前に、復習。

 

曲率円

曲線y=f(x)上の点P(x₀,y₀)において

　　

 

で定まる円

を曲率円（接触円）という。

 

問題　次の曲率円を求めよ。

（１）　放物線y=x²上の点x=0とx=1における曲率円。

（２）　双曲線y=1/x上の点x=1における曲率円。

（３）　曲線y=logx上の点x=1における曲率円。

【解】

（１）　y=f(x)=x²だから、f’(x)=2x、f''(x)=2。

x=0ではf(0)=0、f'(0)=0、f''(0)=2。

　　

したがって、曲率円は

　　

である。

x=1では、f(1)=1、f'(1)=2、f''(1)=2。

　　

よって、x=1における曲率円は

　　

である。

 

（２）　y=f(x)=1/xだから、
　　

x=1では、f’(1)=−1、f''(1)=2

　　

よって、x=1における曲率円は

　　

である。

 

（３）　y=f(x)=logxとおくと、
　　

である。

x=1では、f(1)=0、f'(1)=1、f''(1)=−1。

 　　

よって、x=1における曲率円は

（解答終）

 

 

曲率と曲率半径

曲率と曲率半径

 

曲率とは曲線や曲面の曲がり具合をあらわすもので、曲率半径は曲率の逆数である。

 

問題　半径rの任意の円の微分方程式を作れ。

【解答】

円の中心を(a,b)とすると、半径rの円の方程式は

　　

①の両辺をxで微分すると、

　　

②の両辺をxで微分すると

　　

②と③より

　　

③と④を①に代入して、a、ｂを消去すると

 　　

よって、

　　

（解答終）

 

もし、x=x₀の近傍で曲線y=f(x)を局所的に円に近似できるとすれば、⑤式からこの近似した円（曲率円）の半径（曲率半径）を

　　

求めることができる。

また、②と③式より、円の中心(a,b)は

　　

と求められる。

 

試しに、⑥式を用いて、放物線y=x²/2の点xにおける曲率円の半径を求めてみると、

　　

だから、

　　

よって、x=0のとき曲率半径r=1、x=0のとき曲率半径r=2√2になる。

図を見ると、x=0、ならびに、x=1の近傍の放物線を曲率円が表していることがわかるであろう。

 

以上のことをまとめると、次のようになる。

 

曲率円

曲線y=f(x)上の点P(x₀,y₀)において

　　

 

で定まる円

　　

を曲率円（接触円）という。

 

 

さて、一般論。

 

曲線上の点P(x,y)における接線とx軸のなす角をθ、曲線上でPに近い点Qにおける接線'がx軸となす角をθ+Δθとし、弧PQの長さをΔsとするとき、

　　

を２点P、Q間の平均曲率といい、

　　

（の絶対値）を曲率、この逆数を曲率半径という。

 

半径rの円があり、円周上の２点P、Qとこの円の中心のなす角、すなわち中心角をΔθとすると、弧PQの長さΔs=rΔθだから、

　　

となるので、何故、曲率の逆数が曲率半径になるのかが分かるのではないか。

 

　　

この両辺をxで微分すると、左辺は

　　

だから、

　　

また、

　　

だから、

　　

したがって、曲率と曲率半径κは

　　

である。

 

点Pにおいて曲線に接し、接線に関して曲線と同じ側にあって、半径が|κ|に等しい円を曲率円といい、その中心)を曲率円の中心という。

 

問　y=x³の曲率を求めよ。

【解】

　　

したがって、

　　

（解答終了）

 

 

直交曲線の追加問題の答えだケロ

直交曲線の追加問題の答えだケロ

問題　次の曲線群の直交截線を求めよ。

の答えだケロ。

解く前に、まずは、この曲を！！

直截曲線の微分方程式を導く大本の微分方程式は

　　

で、y'を−1/y'に置き換えると

　　

となる。

　　

だから、これを用いて⑨式を書き換えると

　　

⑨³は③のxとyを置き換えた、入れ替えたもの、つまり、③と⑨³は同形の微分方程式。そして、③の微分方程式の解はx²+y²=Cxだから、これのxとyを入れ替えたもの、つまり、y²+x²=Cyは⑨³の（一般）解になるはずだケロ。
ならなければおかしいケロ！！

このことに気づけば、微分方程式

　　

を解かずに、この微分方程式④の一般解x²+y²=Cyを求められるのであった。

 

なのだけれど、グラフを見るとわかる通り、y=0、つまり、x軸は曲線群x²+y²=Cxのすべての曲線に直交しているので、y=0もこの曲線群x²+y²=Cxの直交截線である。

y=0のときy'=0だから、曲線（？）y=0は④式を満たしている。つまり、y=0は微分方程式④の解の一つである。でも、これは一般解x²+y²=Cyであらわすことができないので、y=0は④の特異解ということになる。

 

なお、微分方程式④は次のように解くとよい。

微分方程式④の右辺の分子分母をx²で割ると、

　　

となるので、これは同次形と呼ばれる微分方程式。

このタイプの微分方程式は、y=txとして、

　　

 

直交曲線の追加問題

直交曲線の追加問題

 

今日、ブログにアップした直交曲線群（直交截線）の追加問題だケロ。

 

問題　次の曲線群の直交截線を求めよ。

　　

 

①の両辺をxで微分すると、

　　

①に②に代入し、Cを消去すると、

　　

③のy'を−1/y'に置き換えると、

　　

これが直交截線の微分方程式になる。

 

③から

　　

点P(x,y)でこれに直交する曲線の（接線）の傾きをdy/dxとすると、

　　

と、直交截線の微分方程式を作ってもいい。

 

さて、この微分方程式④をお前らに解いてもらおうじゃないか。

一見、簡単そうに見えるけれど、真面目にこの微分方程式を解こうとすると、おそらく、地獄を見る。高校以来お馴染みの（単純な）変数分離法ではこの微分方程式は解けない！！

 

しかし、ずる賢いヤツ、あるいは、勘のいいヤツは、④を解かずにこの解をすぐに見つけ出せるのであった。

 

オマケとして、このグラフを。

目に見えるものだけが答えだとは限らないケロよ。

直交曲線群

直交曲線群

 

パラメータc、１個の平面曲線群

　　

のすべての曲線に一定の角度αで交わる曲線を等角直線といい、とくにα=±π/2（α=±90°）のとき直交曲線という。

微分方程式

　　

で与えられる曲線群に対する直交曲線群の微分方程式は

　　

である。

 

曲線y=φ(x)に点P(x,y)でy=ψ(x)で直交するとすると、すなわち、点Pにおけるy=φ(x)とy=ψ(x)の接線が直交するとすると、この曲線の接線の傾きφ'(x)とψ'(x)の積は−1。

したがって、

　　

（１）に代入すると、

　　

ここで、改めて

　　

とおくと、（１’）は（２）になるというわけ。

 

 

例題　放物線y=ax²（a≠0の任意実数）に直交する曲線群の方程式を求めよ。

【解】

　　

をxで微分すると、

　　

①×2−②×x

　　

x≠0とすると、

　　

曲線y=ax²に点P(x,y)における曲線の傾きをとすると、

xy≠0のとき、

　　

したがって、

　　

xy=0のとき、y=ax²はx軸に接するからy=0は直交する曲線になる（特異解）。

したがって、とy=0が直交曲線群である。

（解答終）

 

y=ax²を、

x≠0のとき

　　

と変形し、さらに、この両辺をxで微分し

　　

として、aを消去することもできる。

 

問題　次の曲線群と直交する曲線群を求めよ。

【解】

（１）

　　

の両辺をxで微分すると、

　　

P(x,y)においてxy=kに直交する曲線の勾配をdy/dxとすると、

　　

 

（２）

　　

の両辺をxで微分すると、

　　

y–1≠0のとき

　　

P(x,y)においてxy=kに直交する曲線の勾配をdy/dxとすると、

を変数分離法で解くと、

　　

y=1は円群x²+y²+2x–2y+C=0に直交し、これは①のa=0の場合（特殊解）（※）。

x=−1も円群x²+y²+2x–2y+C=0に直交する（特異解）。

だから、y–1=a(x+1)（aは任意定数） とx=−1。

（解答終）

 

（※）

だから①のaは、a=0にはならないけれど、式の形は同じということで、y=1を①の特殊解とした。

 

第２２回 包絡線

第２２回　包絡線

 

αをパラメータとして含む曲線群

　　

の各曲線と１点だけで接する曲線を、この曲線族の包絡線という。

 

f(x,y,α)をC¹級とする。曲線群と包絡線の接点を(x,y)とすると、xとyはαの関数である。

これを

　　

とする。

（１）と（２）は接するのだから、

　　

また、φ(α)、ψ(α)はf(x,y,α)=0上の点だから

　　

これをαで微分すると、

　　

よって、包絡線は、２曲線

　　

の交点（φ(α),ψ(α))=0の軌跡であり、この２式からαを消去した方程式の曲線Cに含まれる。そして、曲線Cは曲線群の特異点を含むことがある。


例

　　

この場合、はx–α=0。よって、x=αのときy⁴–y²=0となりy=0、±1となるが、点(α,0)は特異点（結節点）なので、直線y=0は特異点(α,0)の軌跡。したがって、包絡線はy=±1である。（右図参照）

 

 

問題１　次の曲線群の包絡線を求めよ。

　　

【解】
（１）

　　

①の両辺をαで偏微分すると

　　

①の両辺を②乗すると、

　　

よって、包絡線は放物線y²=4x

 

（２）

　　

①の両辺をαで偏微分すると、

　　

①と②を２乗して足すと

　　

よって、包絡線は原点を中心とする半径pの円である。

 

（３）

　　

をαで偏微分すると、

　　

したがって、

　　

x=−1は包絡線であり、x=0は特異点の軌跡。

（解答終了）

 

　　

とすると、

　　

したがって、(0,α)は特異点である。

また、

　　

よって、(x,y)=(0,α)において

　　

よって、(0,α)は結節点で接線は２本引ける。

 

 

問題２　次の包絡線を求めよ。

（１）　円x²+y²=r²のy軸に平行な弦を直径とする円の曲線群

（２）　座標軸で切り取られる部分の長さが一定である曲線群

【解】

（１）　弦の両端をA、B、その中点をCとし、C(α,0)とする。

三角ACOは直角三角形だから、ABを弦とする円の半径ACは

　　

よって、円の方程式は

　　

αで偏微分すると、

　　

これを①に代入すると、

　　

 

（２）　直線の方程式を

　　

とすると、条件より

　　

①をαで偏微分すると、

　　

②をαで微分すると

　　

③に代入すると、

　　

とおくと、

　　

これを①に代入すると、

　　

②に代入すると、

　　　　

④を②乗したものと⑤の辺々を掛けると、

　　

よって、アステロイドになる。

（解答終了）

 

第２１回 平面曲線

第２１回　平面曲線

 

§１　通常点と特異点

 

関数f(x,y)をC¹級の関数とし、(x₀,y₀)を曲線f(x,y)=0上の点とする。とが同時に0にならないとき(x₀,y₀)を通常点（正則点）といい、となるとき特異点という。

(x₀,y₀)が通常点のとき、ならばx₀の近傍内にある曲線の一部はy=φ(x)、ならばx=φ(x)で表される。通常点(x₀,y₀)では接線がただ１つ存在し、その方程式は

　　

である。

 

例１　f(x,y)=x²+y²–a²= 0（a>0）とすると
　　。
したがって、になるのは(x₀,y₀)=(0,0)であるが、(0,0)は曲線上の点ではないので、曲線f(x,y)=x²+y²–1= 0は特異点を持たず、通常点のみである。

また、曲線（原点を中心とする半径aの円）上の点(x₀,y₀)における接線の方程式は

　　

 

例２　f(x,y)=y³–x⁴=0とすると、
　　
したがって、(0,0)は特異点。

この曲線は と同一の曲線なので、

　　

となり、φ'(0)=0で、この曲線はx=0でx軸と接している。

 

 

例３　f(x,y)=y²–2x²y+x⁴–x⁵= 0とすると、

　　

したがって、(0,0)は特異点である。

y²–2x²y+x⁴–x⁵= 0をyについて解くと、になるので、

　　

したがって、x=0での微分係数は0となり、この曲線はx軸に接している。

この曲線の特異点(0,0)のような特異点を嘴点と呼ぶ
。

 

§２　特異点の分類

 

f(x,y)をC²級の関数とし、(x₀,y₀)を曲線f(x,y)=0の特異点とする。が同時に０にならないとき、(x₀,y₀)を２重点という。

　　

とおくと、２重点は次のように分類できる。

　（１）　D>0ならば結節点で、(x₀,y₀)で相異なる２本の接線が引ける

　（２）　D=0ならば通常は尖点で、(x₀,y₀)における接線は１本である。

　（３）　D<0ならば孤立点で、その近傍内にある曲線の部分は(x₀,y₀)だけである。

 

例２、例３の特異点は、D=0になるので、尖点である。

 

問題　曲線y²=x²(x+a)の特異点を調べよ。

【解】

f(x,y)=y²–x²(x+a)とおくと、

　　を解くと、

になる。

a≠0のとき

　　

したがって、特異点は(0,0)のみである。

特異点の判別をするために、f(x,y)の２次偏導関数を求めると、

　　

したがって、

　　

だから、

a>0のときは結節点、

a=0のときは尖点、

a<0のときは孤立点

（解答終了）

 

参考までに、a=3、a=−3のときの、曲線y²=x²(x+a)の概形を以下に示す。

 

 

 

 

ラグランジュの未定乗数法を使って大学入試の有名問題を解く

大学入試の問題で非常に有名な問題がある。

 

問題　正の実数a、b、cがa+b+c=1を満たすとき、次の問に答えよ。

（１）　abcの最大値を求めよ。

（２）　であることを示せ。

（３）　の最小値を求めよ。

【解】

（１）　相乗平均≦相加平均より

　　

よって、a=b=c=1/3のときabdの最大値は1/27

 

（２）

　　

 

（３）

相加平均≧相乗平均より

　　

また、（２）よりだから、

　　

したがって、a=b=c=1/3のときに最小値100/3。

（解答終了）

 

（２）は、シュワルツの不等式

　　

を知っていれば、x=y=z=1とおき、

　　

となることから、このことは容易に想像がつくが・・・。

 

(a,b,c)を原点を中心とする半径rの球の球面上x²+y²+z²=r²の点と考えると、

　

この球と平面x+y+z=1が共有点をもつ条件は、球の半径r≧平面x+y+z=1と原点との距離

　　

と解くこともできる。

等号が成立するのは、球x²+y²+z²=r²と平面x+y+z=1が接するとき。

 

（３）は、相加平均≧相乗平均だから

　　

よって、

　　

したがって、最小値は12としてはいけない。最小値が１２になるのはa=b=c=1のときだから、a+b+c=3≠1となり、問題の条件を満たさないからだ。

 

 

ラグランジュの未定乗数法を使うならば、次のように解くことができるだろう。

 

（１）は、 f(a,b,c)=abc、g(a,b,c)=a+b+c–1=0とし、

　　

とすると、

　　

a≠0、b≠0、c≠0だから、abcで割ると

　　

また、a+b+c=1だから、a=b=c=1/3。

したがって、f(a,b,c)=abcの極値は

　　

 

（２）は、f(a,b,c)=a²+b²+c²とし、

　　

とすると、

　　

これとa+b+c=1より、a=b=c=1/3となり、f(a,b,c)の極値は

　　

 

（３）は、とおき、

　　

とすると、

　　

よって、

　　

何故ならば、a>0、b>0のとき

　　

だから。

同様に、b=c。

よって、a=b=c=1/3。

したがって、f(a,b,c)の極値は

　　

 

厳密なことを言うと、ラグランジュの未定乗数法を用いるとき、（１）、（２）、（３）のいずれの場合も、a=b=c=1/3のときにf(a,b,c)が極値であることを証明しないといけない。何故ならば、(a,b,c)=(1/3,1/3,1/3)は、あくまでf(a,b,c)が極値をもつ候補の点に過ぎず、この点で極値をとる保証がないから。そして、この証明はそれほど簡単なものではない。