第１４回 広義積分の問題２ [広義積分]
第１４回 広義積分の問題２
問題１ 次の広義積分の値を求めよ。
【解】
（１） 
（２）
（３） x=sin²θ（0≦θ≦π/2）とおくと
よって、
（４） t=x²とおくと
よって、
ベータ関数、ガンマ関数を用いると（３）と（４）は次のように解くことができる。
【別解】
（解答終了）
問題２ f(x)が[0,∞)で連続であるとき、次のことを示せ。
（１） f(x)が有界であるならば、
は絶対収束する。
（２） f(x)が非負かつ単調減少で
が収束するならば、
である。
【解】
（１） f(x)は有界だから、[0,∞)において 
したがって、[0,∞)において
（２） 
と仮定すると、[0,∞)においてf(x)≧c。
となり、は発散する。
が収束することと矛盾するので、である。
無限級数の場合、
が収束するならば
は成立するが、
広義積分の場合、が収束するならばという命題は必ずしも成立しないので注意。
広義積分と複素積分を用いて定積分を計算 [広義積分]
問題 次の積分の値を求めよ。
まず、
ここで、
u=θ−2πとして、右辺第２項の積分を置換積分すると、θ=πのときu=−π、θ=2πのときu=0、さらに、dθ=duとなるので、
ということで、ε>0として
不定積分を用いてこの定積分の値を求めようとすると、広義積分になってしまう。
【別解】
微分積分の範囲で解けてしまったね。
また、複素関数の積分と留数定理を使うと、次のように求めることができる。
【別解２】
とすると、これはガウス平面（複素平面）の単位円｜z｜=1となり、さらに
（別解２終了）
で、お前ら、積分の値は求められたのか？ Part 2 意地悪は続く(^^) [広義積分]
まず、上の不定積分を求めることにしよう。
とおくと
これで、不定積分は求まった。
この結果を使って何も考えずに機械的に問題の定積分を計算すると、
へっ、へっ、へっ、へっ。
この計算のどこがおかしいか、わかるケロか。
おちゃめな動画も埋め込むケロ。
第１３回 ラプラス変換入門２ 微分方程式への応用 [広義積分]
第１３回 ラプラス変換入門２ 微分方程式への応用
§１ ラプラス逆変換
ラプラス変換の微分方程式の応用について述べる前に、まず、その前提になるラプラス逆変換の定義をあらためて提示し、ラプラス逆変換の簡単な問題を解くことにする。
関数f(t)のラプラス変換
であるとき、ラプラス逆変換は
例えば、
したがって、
上では、積分することでラプラス変換を求めているけれど、この計算をすることなく、前回紹介したラプラス変換表を利用してもよい。
下の表を見れば 
問 次のラプラス逆変換を求めよ。
（１） これは
（２） まず
そして、
ここでは、
このばあい、a=−1、a=−−2であることに注意！！
（３）
ここでは、a=1、ω=1として
（解答終了）
§２ ラプラス変換の微分方程式へ応用
y=f(t)を[0,∞)上の
級とする。そして、この導関数y'=f'(t)のラプラス変換を考えることにする。
そして、次の極限が
に収束するとき、導関数f'(t)のラプラス変換は次のようになる。
定理（導関数のラプラス変換）
[0,∞)上の級関数f(t)がある２つの定数a、M>0に対して
【証明】
R>0とする。
条件より
２次導関数f''(t)については、
以上の結果をまとめると、
問２ ラプラス変換を用いて、次の微分方程式を解け。
L(y)=Yとおくと、
s+2で両辺を割ると
ラプラス逆変換すると、
（解答終了）
なお、上の計算では、ラプラス変換表の
もっとも、ラプラス変換表を見るまでもなく
と簡単に求めることができる。
ラプラス（逆）変換を用いれば、面倒な積分の計算をせずに、ラプラス変換表と代数的な演算で微分方程式の解を求めることができる。
問３ 次の微分方程式の解を求めよ。
L(y)=Yとおくと
微分方程式の両辺をラプラス変換すると、
ラプラス逆変換すると、
（解答終了）
ラプラス変換を用いると、積分の計算をせずに、微分方程式を解けるという話。
第１２回 ラプラス変換入門１ [広義積分]
第１２回 ラプラス変換入門１
ラプラス変換の定義
f(t)は[0,∞)で不定積分を持つとする。広義積分
とおくとき、このF(s)をラプラス変換といい、記号
でであらわす。
また、
であるとき、F(s)からf(x)への対応をラプラス逆変換といい、
このとき、f(t)を原関数、F(s)を像関数という。
問１ 次の関数をラプラス変換せよ。
（１）
（２）
（３）
上記の記号
問２ 次の等式が成り立つことを示せ。
st=xとおくと、t=0のときx=0、t→∞のときx∞、そして、dt=dx/sだから、
代表的な関数のラプラス変換は、ラプラス変換表という表になっており、実際は計算する必要がなく、ラプラス変換表を見ればよい。
代表的な関数のラプラス変換を以下に示す。
定理（ラプラス変換の線形性）
[0,∞)で連続な関数f(x)、g(x)がs>αでラプラス変換可能であるとする。このとき、a、bを実数とすれば、s>αに対して 
【証明】
第１１回 ガンマ関数、ベータ関数の問題１ [広義積分]
第１１回 ガンマ関数、ベータ関数の問題１
問題１ p>0、q>0のとき、次の広義積分をガンマ関数であらわせ。
とおくと
問題２ ガンマ関数、ベータ関数を用いて次の値を求めよ。
（１） 2p−1=3、2q−1=4を解くと、p=2、q=5/2。
したがって、 
（２） 2p−1=6、2q−1=4を解くと、p=7/2、q=5/2。
したがって、
で、
よって、
（解答終了）
問題３ 次の値を求めよ。
（１） 
とおくと
となり、x=1にはt=1、x→∞にはt→0が対応する。
したがって
故に
（２） t=√xとおくと、x=0にはt=0、x=1にはt=1が対応し、
（計算終了）
問題４ 次の等式を証明せよ。
とおくと、x=2t−1。
（解答終了）
質問の解答例 [広義積分]
質問の解答例
問１ 次の広義積分は収束するか、収束しないかを判定せよ。
t>0とする。
（解答終了）
【別解】
閉区間[0,1]で
は連続だから右辺第１項の積分は通常の積分。だから、右辺第２項の収束性について考えればよい。
【別解終了】
また、
【解答例】
（解答終了）
問２ 次の広義積分は収束するか、収束しないか、このことを示せ。
x≧eのとき
（解答終了）
また、右辺を微分し、左辺の被積分関数と一致することを示してもよい。
お前ら、次の広義積分の収束性を判断するケロ！！ [広義積分]
お前らに質問するが、次の広義積分は収束するか、収束しないか、どちらだ？
収束するならばその値を求めよ。値は求められないヒトは収束することを証明するケロ！！
収束しないならば、収束しないことを示すケロ。サービス問題だケロ。
「あっ！！」と気づけば秒殺問題。しかし、
「あっ！！」と気づかずにこれを解いた奴は、気づいて秒殺した奴よりもっと凄いと思うにゃ。そして、何かに気づくはずだにゃ。みんな、頑張るにゃ。頑張れったら、頑張るにゃ(^^)
次の動画の４：３０秒過ぎを参照！！！
こんなのチョロいというヒトは、次の広義積分にチャレンジするにゃ。
問 次の広義積分は収束するか、収束しないか、このことを示せ。
解答は、午後１０時過ぎくらいに(^^)
第１０回 ベータ関数、ガンマ関数の定積分の計算への応用２ [広義積分]
第１０回 ベータ関数、ガンマ関数の定積分の計算への応用２
三角関数の積分へのベータ関数の応用について述べることにする。
その前に、今回使う公式を示し、その証明を与える。
公式 （ベータ関数の三角関数による表現）
ベータ関数
このとき、x=0にはθ=0、x=1にはθ=π/2が対応し、
問１ 次の積分の値を求めよ。
（１）は2p−1=3、2q−1=0、つまり、p=2、q=1/2、（２）は2p−1=4、2q−1=0、つまり、p=5/2、q=1/2と考えればよい。
そうすると、（１）と（２）は、ベータ関数を使って次のように積分の値を求めることができる。
（解答終了）
上の計算では、ベータ関数とガンマ関数の重要な次の関係
同様に、
と、定積分の値を求めることができる。
問２ 次の値を求めよ。
（１） 2p−1=5、2q−1=3を解くと、p=3、q=2。
したがって、 
（２） 2p−1=4、2q−1=2を解くと、p=5/2、q=3/2だから
このように、ベータ関数とガンマ関数を用いると、三角関数の定積分の値を求めることができるという話でした。
第９回 ベータ関数、ガンマ関数の定積分の計算への応用１ [広義積分]
第９回 ベータ関数、ガンマ関数の定積分の計算への応用１
この話をする前に、復習をかねて、ガンマ関数とベータ関数の重要な性質について記す。
ガンマ関数とベータ関数の定義
ガンマ関数の重要な性質と値
ベータ関数とガンマ関数の関係
上記のガンマ関数とベータ関数の性質を使って、実際に、定積分の値を求めることにする。
問１ ベータ関数とガンマ関数を使い、次のことを証明せよ。
【考え方と解】
問の積分をベータ関数に帰着させるために、 
このとき、
また、
これを使って、（１）、（２）、（３）の計算をすることにする。
（１）
（２）
（３）
（考え方と解終了）
（１）と（２）ならば、
と計算したほうが速いけれど、ガンマ関数とベータ関数の定積分の計算への応用のコツをつかむために、あえてこのように計算した。
問２ 次の広義積分の値を求めよ。
この積分をベータ関数に帰着させるために、
とおくと、p=q=1/2になるので、
（解答終了）
