２次曲線 [数学基礎]
２次曲線
§１ 楕円
２つの定点からの距離の和が一定である動点の軌跡を楕円という。この２つの定点を楕円の焦点という。
焦点をF(c,0)、F'(−c,0)、動点Pの座標を(x,y)とし、距離の和を2a（a>c>0）とすると、
両辺を２乗すると、
両辺を２乗すると、
a²–c²=b²とおくと、楕円の方程式は
また、このことから、楕円
の焦点の座標は
AA'=2aを長軸の長さ、長径、BB'=2bを短軸の長さ、短径という。
例 楕円
a=5、b=4とすると、
よって、焦点は(−3,0)、(3,0)。
a=b>0とすると、（１）は
これは原点Oを中心とする半径aの円になる。そして、このとき、焦点は円の中心Oになる。
§２ 双曲線
２定点からの距離の差が一定である動点の軌跡を双曲線という。
この２定点を双曲線の焦点という。
２定点をF(c,0)、F'(−c,0)、動点Pの座標を(x,y)、距離の差を2a(c>a)とする。
両辺を２乗すると、
両辺を２乗すると、
c²–a²=b²とおくと、
双曲線
の焦点は
である。
双曲線の漸近線は、
§３ 放物線
定点と定直線との距離が一定の動点の軌跡を放物線という。
このとき、定点を放物線の焦点、定直線を準線という。
定点Fの座標を(p,0)、定直線（準線）をx=–p、動点Pの座標を(x,y)とし、Pから直線x=–pにおろした垂線の足をHとする。
両辺を２乗すると、
２次曲線の標準化の例 [数学基礎]
２次曲線の標準化の例
２次曲線の方程式の一般形は
３×３の対称行列を用いると、
となる。
なのだが、座標軸の回転に関係する部分は、（１）の２次の項（の係数）だけなので、それに対応する対称行列
について、まず考える。
問題１ 次の２次曲線を標準形にせよ。
【解】
とすると、固有方程式は
t=2のとき、
t=8のとき
だから、大きさが１の固有ベクトルは、
これは、基本ベクトル
を反時計回りにθ=45°=π/4(rad)回転させたものだから、
これをに代入すると、
ここで、さらに
と座標変換すると、
よって、この曲線は楕円である。
（解答終）
これは図形や点を原点まわりに４５°回転させるのではなく、x軸、y軸を45°回転し、それを新しいx'軸、y'軸とする主軸変換、座標変換！！
そのため、
となっている。
①式は
と書き換えられるので、高校で習う１次変換とは違うことに注意！！
これ以上余計なことを書くと混乱させるだけだから、これ以上は書くまい。
問題２ 次の２次曲線を標準化せよ。
【解】
とおくと、
よって、行列Aの固有値はt=0,2。
t=2のとき
t=0のとき
したがって、行列Aの大きさ１の固有ベクトルは、
これは基本ベクトル
を４５°時計回りに回展させたものだから、
とし、x²–2xy+y²+2x–6 y=0に代入すると、
さらに、
と変換すると、
となり、この曲線は放物線である。
（解答終）
２次形式の標準化の追加問題！！ [数学基礎]
２次形式の標準化の追加問題！！
追加問題 
はどのような曲線か。
【解】
だから、
とおくと、固有値は
t=4のとき、
t=16のとき
したがって、大きさ１のAの固有ベクトルは
そこで、
とおき、に代入すると、２次曲線の標準形は
で、は楕円である。
（解答終）
行列
の大きさ１の固有ベクトルは
は基本ベクトル
を原点まわりに時計回りにθ=π/6(rad)=30°回転させたものだから、この曲線
を30°反時計回りに回転させれば、だ円4x²+16y²=16になる。
１次変換を使うならば
これをに代入すれば、
になる。
なお、
変数x、yと実係数a、b、hで定められる関係式
のとき、
とおき、公式⑨³
を使うならば、a=7、b=13、h=3√3だから
固有値α=4、β=16だから、の標準形は
と、簡単に求めることができる。
２次形式の標準化 [数学基礎]
２次形式の標準化
２次形式
変数x、yと実係数a、b、hで定められる関係式
を２次形式という。
これは行列を使うと
で表される。
列ベクトル
を転置した行ベクトル
、さらに対称行列
とすると、
例
ところで、対称行列は適当な直交行列P（
）を用いて
と対角化することができる。
そこで、
とすると、
と、２次形式F(x,y)=ax²+2hxy+by²を２次形式の標準形
にすることができる。
ここで、α、βは行列Aの固有値である。
問題１ 次の２次系式を標準化せよ。
【解】
（１） 
の固有方程式は
よって、行列Aの固有値はt=2、８。
t=2のとき
t=8のとき
したがって、t=2、8のときの固有ベクトルは、
したがって、この固有ベクトルの単位ベクトルは
よって、
で、
したがって、
とすると、
（２） 
の固有方程式は
t=3に対する単位固有ベクトルは
t=−2に対する単位固有ベクトルは
したがって、直交行列Pは
となり、
したがって、
とおくと、
（解答終）
x軸とy軸をθだけ回転した新しい座標軸をu、vとする。
このとき、xy座標系での点Pの成分(x,y)と、新しいuv座標系での点Pの成分(u,v)との間には
という関係がある。
行列を用いて表すと、
ここで、
とおくと、行列Pの行と列の成分を入れ替えた行列（転置行列）
は
となり、
したがって、は直交行列。
⑨を２次形式F(x,y)=ax²+2hxy+by²に代入すると、
uvの項の係数を0にするには、θを
にとればよく、このようなθをとれば２次形式の標準形になる。
問題２ ２次曲線2x²–2xy+2y²=9 を標準形にせよ。
【答】
だから、
の対角化を図る。
行列Aの固有方程式は
t=1のときの固有ベクトルは
t=3のときの固有ベクトルは
固有ベクトルの正規化――大きさ１の単位ベクトルにすること――をすると、
したがって、
このようにPを選ぶと
なるケロ（実際に計算して、こうなることを確かめよ）。
だから、
として、2x²–2xy+2y²=9を標準化すると、u²+3v²=9になる。
（解答終）
u²+3v²=9だから、
したがって、この曲線はu軸を長軸、v軸を短軸とする楕円。
対称行列の固有値をα、βとすると、２次曲線ax²+2hxy+by²=cは標準形αu²+βv²=cに変換できるので、上のような面倒な計算をせずとも、問題２の場合、α=1、β=3だから、u²+3v²=9とすぐに求められる。
また、軸の回転角は、⑨³を用いると、この場合、a=b、h=−1の場合なので、θ=π/4と求めることができる。
行列の固有値と固有ベクトル [数学基礎]
行列の固有値と固有ベクトル
１次変換（行列）
に対して
を満たすλをAの固有値、
を固有ベクトルという。
単位行列
とすると、（１）式は
と変形できるので、
が存在するための必要十分条件は、行列A–λ Eが逆行列を持たないこと、すなわち、
で、（２）式をAの固有方程式という。
２次方程式（２）の解をα、βとすると、解と係数の関係より、
が成り立つ。
ここで、
のことで、これは行列
の行列式である。
問題１ 次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ。
【解】
固有ベクトルを
、固有値をkとする。
（１）
x=y=0以外の解をもつためには、
k=1のとき、①式より
ここで、x=tとおくと、y=−t。
よって、固有ベクトルは
k=2のとき①より
y=sとおくと、x=−2s。
よって、固有ベクトルは
（２）
②式より
よって、固有ベクトルは
である。
（解答終）
問題２ 次の問に答えよ。
（１） 行列
の固有値と固有ベクトルを求めなさい。
（２） 
となる行列Pを求めよ。
（３） nが自然数のとき
を求めよ。
【解】
（１） Aの固有値をk、固有ベクトルをとすると、
以外の解をもつためには、
k=2のとき、①式より
k=5のとき、①式より
（２）
ここで、
とおくと、
したがって、α、βは行列Aの固有値で、
はその固有ベクトル。
よって、α=2、β=5とすると、
（３） a=1,b=1とおく。
α=2のとき
β=5のとき
よって、
後の計算はヨロシク！！
（解答終）
が成立するので、これを利用して
と計算してもよい。
２次曲線プチ [数学基礎]
２次曲線プチ
問題１ 次の曲線を原点の周りに４５°回転してえられる曲線の方程式を求めよ。
【解】
(x,y)を原点まわりに角度θ回転して得られる点を(x',y')とすると、次の関係が成立する。
逆に、(x',y')を原点まわりに角度−θ回転すれば(x,y)に戻るので、次の関係が成立する。
したがって、θ=45°のとき、
になる。
（１） x²–y²=a²に
を代入すると、
（２） x²+xy+y²=6にを代入すると、
だから、
（３） x²–2xy+y²–2x–2y+1=0にを代入すると、
よって、
（解答終）
図形を回転させても図形の形は変わらないので、（１）のx²–y²=a²（a>0）は直角双曲線であり、（２）のx²+xy+y²=6は楕円。そして、（３）の曲線x²–2xy+y²–2x–2y+1=0は放物線である。
実は、２次曲線
には、曲線の種類を判別できる、判別式D=ac–b²という判別式があり、
D>0のとき楕円
D=0のとき放物線
D<0のとき双曲線
になる。
こうなっていることを、問題の（１）、（２）、（３）の場合で確かめて欲しい。
問題２ 曲線(x+y)²=4xとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
【解】
(x+y)²=4xだから
y≧0の部分は、y=2√x–xだから、
（解答終）
問題２を解くのに２次曲線の知識は必要としないけれど、
となるので、a=b=c=1となり、２次曲線の判別式を使うと、
となり、この曲線が放物線であることが分かる。
このことは、この曲線を原点まわりに−45°回転すると、変換式は
となるので、これを(x+y)²=4x代入すると、
ここで、さらに
とすると、
となることからも確かめられる。
tan⁻¹{tan(9π/4)}の答え [数学基礎]
問題 次の値を求めよ
皆さん、正しく答えられたでしょうか(^^)
ウソじゃないケロよ、電卓で計算してもこうなるケロ。
９π/４と答えたヒトは間違いですから注意するにゃ。
sin⁻¹やcos⁻¹、tan⁻¹などには逆三角関数という名称がついているけれど、これらの関数は厳密に（写像的な観点から）言うと逆関数じゃないので注意。似て非なるものです。
参考までに、三角関数のグラフ。
たとえば、y=tan xの場合、定義域を−π/2<x<π/2といった制限を加えないと、１対１対応にならず、y=tanxの逆関数としてのtan⁻¹y=xは定義できないのであった。
この表現は誤解を招くかもしれないので、こう言い換えるべきだ。
tan⁻¹y=x （−∞<y<∞,−π/2<x<π/2）は、y=tan x （−π/2<x<π/2, −∞<y<∞）の逆関数ではあるが、
y=tan x （−∞<x<∞,−∞<y<∞）の逆関数ではないと。
お前らに、逆写像の簡単な問題の答を問うにゃ [数学基礎]
つかぬことをお伺いしますが、
tan⁻¹やatanはtanの逆関数。つまり、
――この定義は少し不正確！！ あえてぼかす！！！！――
たとえば、x=π/4（=45°）のとき
逆関数をわからないヒトもいるかもしれない。
逆関数とは、集合Xから集合Yへの写像（関数）fが１対１への対応（全単射）であるとき、 
たとえば、X＝｛ネコ,イヌ,ネズミ｝、Y＝｛チーズ,マタタビ,ホネ｝で次の対応規則f
１対１対応だから、集合Xの要素の個数と集合Yの要素の個数は等しい。
もう一度、問うにゃ。
問題 次の値を求めよ
おそらく、多くのヒトが・・・(^^)
オイラーの公式 [数学基礎]
オイラーの公式
オイラーの公式とは、指数関数と三角関数を結びつける次の公式。
横軸を実軸、縦軸を虚軸にとるガウス平面上において、（１）式は 原点Oを中心とする半径１の円周（上の点）をあらわす。
（１）式に−θを代入すると、
したがって、三角関数は複素数・虚数まで拡張された指数関数で定義することが可能。
また、θ=πを（１）式に代入すると、
この式に数学の神秘（？）を見出す人もいる。
だからというわけではないでしょうが、この式が好きだという結構いるようですね。番外編 不等式の証明 [数学基礎]
番外編 不等式の証明
いきなり、
問題１ a、ｂが実数であるとき、次の不等式を証明せよ。
よって、
等号成立は、a=0またはb=0。
（証明終わり）こんな計算はしたくない。
そこで、ずるをするにゃ。 
【ずるい証明】
は増加関数。
|a|+|b|≧|a+b}だから 
（証明終わり）
問題２ 
なるとき、
と
の大小関係を調べよ。ただし、p>0、q>0、p+q=1とする。
しかし、面倒な計算はしたくないので、これから、ずるをするにゃ。
１年ほど前に、微分積分で凸関数というものをやった。凸関数は次のようなもの。
y=f(x)上の相異なる任意の２点をA(x,f(x))、B(y,f(y))とすると、この２点を結ぶ線分（弦）ABがこの曲線の弧ABよりも上にあるものを凸関数という。
f(x)=ax²+bx+c（a>0）のときは、凸関数。で、p>0、q>0、p+q=1のとき、px+qyというのは、x軸上の(x,0)と(y,0)をq:pで分けた点と考えることができる。また、
とすると、この点は線分ABをq;pに分ける点と考えられる。Dは線分AB上にあるので、曲線上の
よりも上にある。
２次関数の図形的な意味を考えれば、計算をすることなく、大小関係を判定できるという話。
この問題の出題者は、このことを念頭にこの問題を作ったのだから、ケチをつけられる筋合いはない。
また、
p>0、q>0、p+q=1のとき
という不等式が得られる。
等号成立は、いずれの場合もa=b。さり気なく、α≧0、β≧0とし,p=1/3、q=2/3とすると
ここで、さらにもっと大胆に、a=x²、b=y²、c=z²とすると
（１） 
と
の大小を比較せよ。
（１）の不等式がどこから出てきたのかが、よく、わかる。これは関数の凸凹と深い関係があるんだケロ。
そして、
【解】
（１） x+y+z<0のとき 
よって、
（２） （１）より
よって、a=3
また、a=3のとき①の右辺=左辺=1となり、x=y=zでなければならない。よって、x=y=z=1である。
