第５７回 ベクトル関数の極限と連続

第５７回　ベクトル関数の極限と連続

 

 

実数全体の集合Rの空でない部分集合の任意の点tに対して、ベクトルAが一意に対応付けられているとき、これをベクトル関数と呼び、A(t)で表す。

直交座標を用いると、A(t)はDからRへの３つの実数関数x(t)、y(t)、z(t)によって次のように表すことができる。

　　

ここで、i、j、kはそれぞれx軸、y軸、z軸の正の方向の単位ベクトル、すなわち、

　　

である。

また、tの値によってベクトルの大きさ、方向が変わらないベクトルを定ベクトルという。

 

ベクトル関数の極限

 

tがt₀に限りなく近づくとき、A(t)がCに限りなく近づくならば、Cをt=t₀におけるA(t)の極限値といい、

　　

で表す。

 

より正確にε−δ論法を用いると、

任意の正数ε>0に対して、ある正数δ>0が存在し、任意のt∈Dに対して

　　

であるとき、このことを

　　

であらわし、t=t₀においてA(t)はCに収束するという。また、このとき、Cをt=t₀におけるA(t)の極限値という。

 

問１　とするとき、とが同等であることを示せ。

すなわち、

　　

【略証】

　　

だから

　　

したがって、

　　

ならば、ハサミ打ちの定理より

　　

逆に、ならば

　　

なので、ハサミ打ちの定理より

　　

（略証終）

 

問２　α、βを定数とするとき、次のことが成り立つことを示せ。

　　

【略証】

とする。

α=β=0のとき、だから、あきらか。

同時にα=0、β=0でないとき、

任意の正数ε>0に対して

　　

とおくと、あるδ>0があって、

　　

とすることができる。

したがって、このとき、

　　

（証明終）

 

 

問３　f(t)を実数全体の集合RからRへの関数とするとき、次のことを示せ。

【略証】

問１より

　　

（解答終）

 

 

ベクトル関数の連続

 

であるとき、A(t)はt=t₀で連続であるという。

すなわち、

任意の正数ε>0に対して、ある正数δ>0が存在し、全てのt∈Dに関して

　　

であるとき、A(t)はt=t₀で連続であるという。

また、Dに属する任意の点でA(t)が連続であるとき、A(t)はDで連続であるという。

 

ベクトル値関数A(t)が

　　

であるとき、A(t)がt=t₀で連続であることと、実関数x(t)、y(t)、z(t)がt=t₀で連続であることは同値である。

 

問４　上のことぉ証明せよ。