お前らに質問（１２月１３日 関数の微分可能性）

お前らに質問（１２月１３日　関数の微分可能性）

 

 

f(x)を点aの近傍で定義された関数とする。

ある定数Aが存在し、任意の正数ε>0に対し、あるδ>0が存在し、である任意のxに関して、

　　

であるとき、関数f(x)は点aで微分可能という。

また、このとき、

　　

で表し、を関数f(x)の点aにおける微分係数という。

 

これは、従来の微分可能と微分係数の定義

　　

を、ε−δ論法（による関数の極限の定義）を用いて（より厳密に、より定量的に）言い換えたもの。

 

だから、（１）と（２）は同じもの。

 

xが限りなくaに近づくとき、xのaへの近づき方に無関係に

　　

がある実数Aの値に限りなく近づくならば、

　　

といった文学的な定義は、

「限りなく近づく」、「近づき方に無関係」ってどういうことよ、曖昧でよくわかんない！！

と、嫌うんだケロ。

 

具体的な例を上げ、図などを用いて感覚に訴えるといった手段を用いることなく、下線部を引いたところをキチンと説明することは極めて困難で、ほとんど不可能といっていいからね。

そして、そもそも感覚的で、曖昧なので、正確な議論ができない、正確な議論をしづらい、ということがあって、みんなが大好きなε−δ論法が生み出された。

 

 

例題　関数f(x)は実数全体の集合Rであるとする。このとき、次のことが成り立つことを、ε−δ論法を用いて、示せ。

（１）　f(x)=C（定数）とするとき、任意のa∈Rに対して、である。

（２）　f(x)=xとするとき、任意のa∈Rに対して、である。

（３）　f(x)=x²とするとき、任意のa∈Rに対して、である。

【解】

（１）　任意のε>0に対して、δ=ε>0とおくと、

　　

 

（２）　任意のε>0に対して、δ=ε>0とおくと、

　　

 

（３）　任意のε>0に対して、δ=ε>0とおくと、

　　

（解答終）

 

では、お前らに質問！！

 

問題　f(x)=x³を実数全体の集合Rで定義される関数とするとき、任意のa∈Rに対して

　　

となることを、ε−δ論法を用いて証明せよ。

「こんな問題はチョロいぜ」というヤツは、次の問題にチャレンジする。

 

発展問題　とするとき、

　　

となることを、ε−δ論法を用いて示せ。

 

コッチは、結構、手強いぜ。

 

そうそう簡単に、「ε−δ論法なんてチョロいぜ」と変なふうに悟られると、困るんでね。
回答、特に、発展問題の回答を、心よりお待ちしています。
発展問題の回答がひとつもネムネコのもとに届かない場合、ネムネコも、この対抗処置を発動し、発展問題の解答例の公開を、当分の間、留保するにゃ。
知りたければ、誠意を示すにゃ。

おまけ

 

 

命題　α、βを定数とする。関数f(x)、g(x)が点aで微分可能ならば、関数αf(x)+βg(x)も点aで微分可能である。

【証明】

α=β=0のとき、

任意のε>0に対し、δ=εとおくと、

　　

が成立する。

 

αとβが同時に0でないとき。

関数f(x)、g(x)は点aで微分可能なのだから、任意の正数>0に対し、あるδ>0が存在し、

　　

を満たす定数A、Bが存在する。

したがって、

ならば、

　　

 

よって、

　　

とおくと、

　　

（証明終）

 

α=β=0のときは、「関数f(x)、g(x)は点aで微分可能」である必要がなく、「関数f(x)、g(x)は点aで微分可能」という条件は過剰だね(^^ゞ。

でも、この条件がないと、⑨³で表わせないから。

細かいヒトは、

　　

とし、

　　

とすると、

　　

とするべきだ、と。

そして、こういうことをなおざりにするから、ますます、ε−δ論法嫌いが増えるのだ、と…。

 

でも、いちいち、このように書くのは面倒なので、

この意味で、

「関数f(x)、g(x)は点aで微分可能なのだから、任意の正数>0に対し、あるδ>0が存在し、

　　

を満たす定数A、Bが存在する」

と略記する。

 

ところで、

おどろおどろしいけれど、

関数αf(x)+βg(x)の点aにおける微分係数は、

　　

と書くのが正しいんだケロよ。

 

ddt³さんならば、⑨³を見て、線形である、そして、「’」を線形演算子と言い出すかもしれない。

そして、

　　

とか書いて、

　　

とするんじゃないかな(^^ゞ。

 

さらに言うと、

「関数αf(x)+βg(x)」ではなく、「関数αf+βg」と書くのが正しいのだけれど、ここでは、高校数学流の表記にならって、「関数αf(x)+βg(x)」と書いているにゃ。

 

すっげぇ〜うるさいことを言うと、

f(x)は、関数fの点xにおける値であって、関数じゃ〜ないんだケロ。

だ・か・ら、

関数f(x)と書くのは、実は、ただしい書き方ではない。