第２６回 ランダウの記号を用いた極限の計算法

第２６回　ランダウの記号を用いた極限の計算法

 

 

ランダウの記号を用いた極限の計算を行う前に、その前提となる内容の復習。

 

まずは、ランダウの記号（スモール・オー）の定義を示す。

 

　　

のとき

　　

とあらわす。

 

そして、前回紹介した漸近展開の定理を再掲。

 

定理１　（漸近展開）

f(x)が0を含む開区間Iで級関数であるとき

　　

である。

 

次に、代表的な関数の漸近展開。

 

 

 

最後に、ランダウの記号の演算法則。

 

定理２　（ランダウ記号の演算）

m、nを正数とする。x→0のとき、次のことが成り立つ。

 

 

のとき

　　

となるから、

 

例題　漸近展開を利用して、次の極限値を求めるよ。

【解】

指数関数の漸近展開は

　　

であるから、

（解答終）

 

 

上の例題のように、漸近展開とランダウの記号を用いて極限の計算をすることができる。

なお、n、mを正の整数とするとき、

であることに注意。

 

 

問題　ランダウの記号を用いて次の極限値を求めよ。

【解】

（１）　

したがって

　　

 

（２）　マクローリン展開より

　　

したがって

　　

 

 

（解答終了）