第１９回 関数の最大・最小

第１９回　関数の最大・最小

 

極大値、極小値は、それぞれ、局所的な最大値、最小値であるが、必ずしも関数の極大値、極小値は関数の最大、最小値でない。

したがって、関数の最大・最小問題を解くとき、この点に注意する必要がある。

 

問１　次の関数の最大値と最小値を求めよ。

【解】

（１）

　　

とおき、関数f(x)の増減を調べるために微分すると、

　　

 

したがって、増減表は次のようになる。

 

 

これより、

　最大値はf(√2)=6(3−√2)

　最小値はf(3)=9/10

 

（２）　根号の内部2x−x²≧0でなければならないので、0≦x≦2でなければならない。

　　

とおき、微分すると、

　　

よって、増減表は次のようになる。

 

 

 

したがって、

x=3/2のとき、最大値3√3/4

x=0、2のとき、最小値0

 

（解答終）

 

問題によっては、次の問のように変数を置き換えたほうが計算が楽になる場合がある。

 

問２　次の関数の最大、最小値を求めよ。

【解】

（１）　cosx=tとおくと、−1≦t≦1。

　　

とおくと、

　　

増減表を書くと、

 

 

したがって、

t=1、すなわち、x=2nπ(nは整数)のとき最大値２

t=0、すなわち、x=π/2+2nπのとき最小値−１

 

（２）　sinx=tとおくと、−1≦t≦1。

　　

f(t)をtで微分すると、

　　

したがって、増減表は

 

 

 

よって、

t=1、x=π/2+2nπのとき、最大値4/3

sinx=t=√2−2のとき、最小値4√2−6

 

（３）　sinx+cosx=tとおくと、

　　

より、1≦t≦√2。

また、t=sinx+cosxだから

　　

よって、

　　　　

したがって、

　　

f(t)をtで微分すると、

　　

よって、f(t)は単調増加。

したがって、

t=1、x=π/4のとき最大値2√2

t=√2、x=0,π/2のとき最小値1

（解答終）

 

問３　実数x、yはx²−2x+4y²=0を満たしている。

（１）　x+2yの最大値と最小値を求めよ。

（２）　x、yはいずれも正の数とするとき、xyの最小値を求めよ。

【解】

　　

なので、

　　

とおく。

 

（１）

　　

だから、

θ=π/4のとき最大値√2+1

θ=5π/4のとき最小値−√2+1

 

（２）　x>0、y>0だから

　　

である。

　　

とおき、f(θ)をθで微分すると、

　　

したがって、増減表は

 

 

 よって、θ=π/3のとき最大値である。

（解答終）

 

 

問４　関数の区間0≦x≦1における最大値２となるように、aの値を定めよ。

【解】

　　

（ⅰ）a≧eのとき

0<x<1でf'(x)<e−a≦0よりf(x)は減少で、f(0)=1。

よって、｜f(x)｜が0≦x≦1で最大値２をとるためには、

　　

（ⅱ）a≦1のとき

0<x<1でf'(x)>1−a≧0よりf(x)は増加で、f(0)=1。

よって、｜f(x)｜が0≦x≦1で最大値２をとるためには、

　　

（ⅲ）1<a<eのとき

を満たすxが0<x<1に１つ存在する。

これをx₀とすると、x=x₀のとき極小かつ最小。

　　

f(0)=1、f(1)=e−a<e−1<2だから、｜f(x)｜の最大値は２となりえない。

ゆえに、

　　a=e±2

（解答終）