第１０回 「すべての」と「ならば」を含む複合命題

第１０回　「すべての」と「ならば」を含む複合命題

 

数学には「a(x)ならばb(x)」という形の命題が多い。これは、条件命題ではなく、全称命題

　「すべてのxについて、a(x)ならばb(x)」

または

　「すべてのxは、a(x)ならばb(x)」

で、

　

の意味である。

ところで、

　

であるので、

　

となる。

a(x)、b(x)の真理集合をA、Bとすると、条件命題の真理集合はとなるので、

　

となる。

すなわち、

　

したがって、∀x(a(x)⇒b(x))の真偽は、真理集合の包含関係A⊂Bを調べることにことによって知ることができる。

また、このことから、

　

となる。

 

 

問１　次の命題の真偽を調べよ。

（１）　x²+x<2ならばx²−x<2

（２）　x²−3x+2<0ならばx²+3x+2>0

（３）　x+y<1ならばx²+y²<1

【解答】

（１）　x²+x<2の真理集合をA、x²−x<2の真理集合をBとすると、

　

したがって、偽

 

（２）　x²−3x+2<0の真理集合をA、x²+3x+2>0の真理集合をBとすると、

　

よって、真である。

 

（３）　x+y<1の真理集合をA、x²+y²<1の真理集合をBとすると、

　

A,Bを座標平面上に書くと、下図のようになり、。

よって、偽である。

（解答終）

 

 

問２　真理集合包含関係を調べて、実数x、yに関する次の命題に真偽を定めよ。

【解答】

（１）　y=|x|の真理集合をA、y²=x²の真理集合をBとすると、

　

これを図示すると、下図のようになり、A⊂B。

したがって、この命題は真である。

 

（２）　(x²+y²<1)∧(x+y+1<0)の真理集合をA、(x<0)∧(y<0)の真理集合をBとすると、

　

これを図示すると、下図のようになり、A⊂B。

したがって、この命題は真である。

（解答終）

 

問３　ある正の数a、bに対してax+by>0ならば、x>0またはy>0であることを証明せよ。

【解】

　

だから、この対偶をとると、

　

すなわち、

x≦0かつy≦0ならば、全ての正数a、bに対してax+by≦0である

になり、これは明らか。

よって、成り立つ。

（解答終）