第６回 条件命題と真理集合

第６回　条件命題と真理集合

 

たとえば、

「xは３の倍数である」

「x+1は５より大きい」

という文があるとする。

この文には変数xが含まれていて、xの値によって真偽が定まるので、このままでは、[xは３の倍数である」、「x+1は５より大きい」という文は命題ではない。

このように、変数を含み、変数xの値によって真偽が定まる文p(x)を条件命題といい、条件命題p(x)を真とする集合を

で表し、これを条件命題p(x)の真理集合という。

条件命題p(x)、真理集合P={x|p(x)}を考える場合、変数xの値として考えうる値の全体、すなわち、xの全体集合Uを定める必要がある。

何故ならば、たとえば、条件命題

の真理集合

とし、xの全体集合Uを実数全体の集合とする場合、x²+1=0を満たす実数xは存在しないので、

となり、xの全体集合Uを複素数にした場合、

となり、真理集合Pが異なるためである。

 

問１　全体集合UがU={x|−2≦x<5、かつ、xは整数}のとき、

とする。このとき、次の条件命題の真理集合を求めよ。

【解】

（１）　xを実数とするとき、p(x)かつq(x)を満たすxは、連立不等式

の解である。

したがって、この解は2<x≦3。

また、全体集合Uは{x|−2≦x<5、かつ、xは整数}なので、真理集合は{3}である。

 

（２）　だから、真理集合は｛−2,−1,0,1,2｝である。

 

（３）　だから、これは「x²−3x>0またはx>2」、すなわち、「(x<0またはx>3)またはx>2」となり、「x<0またはx>2」（註）。

全体集合{x|−2≦x<5、かつ、xは整数}なので、これを満たすxは{−2,−1,3,4}。したがって、真理集合は{−2,−1,3,4}。

（解答終）

 

問題が難しいというよりも、解答の書き方に困ってしまうという意味で、これは難問だね(^^ゞ

 

（註）

「x>3またはx>2」は「x>2」になる。

 

 

問２　次の条件命題の心理集合を求め、真理集合を図示せよ。

（１）　1<x+y<3、ただし、x,yは実数

（２）　4<x²+y²<9、ただし、x,yは自然数

【解答】

（１）　求める真理集合は

であるから、座標平面上で２つの直線x+1y=1とx+y=4の間に挟まれた部分。

 

 

 

（２）　求める真理集合は

だから、座標平面上で原点を中心とする半径２の円x²+y²=2²と半径３の円x²+y²=3²の間にはさまれた部分で、座標がともに自然数となる点なので、

である。

 

 

（解答終）

 

問３　A={x|x>1}、B={x|x<2}とするとき、次の条件命題の真理集合をA、Bを用いて表わせ。

（１）　条件命題(x−1)(x−2)<0

（２）　条件命題(x−1)(x−2)≧0

【解答】

（解答終）