「お前ら、関数列の収束に関する、この問題を解けるか？」の解答例

お前ら、関数列の収束に関する、この問題を解けるか？

 

問題

　　

とすると、各点x≧0では極限をもつことを示せ。

また、この収束は一様収束か。

【解答例】

a∈[0,∞]の任意の実数とする。

a=0のとき、nの値にかかわらず、

　　

だから、

　　

である。

a>0とする。a>1/n、すなわち、n>1/aとなるようにnをとると、

　　

よって、

　　

したがって、a∈[0,∞)の任意のaについては0に収束し、極限関数f(x)は

　　

である。

　　

したがって、はf(x)=0に一様収束しない。

（解答例終）

 

になるのは、x=1/nのときね。

 

みんな大好き「ε‐δ論法」を使うならば、例えば、次のようになるのでしょう。

 

【ε‐δ論法を用いた解答例】

a∈[0,∞)の任意の実数とする。

ε>0を任意の正数とする。

a=0のとき、自然数Nの値にかかわらず、

　　

が成立し、は0に収束する。

a>0のとき、

　　

である自然数Nをとれば、

　　

よって、a>0のときも、は0に収束する。

したがって、はx∈[0,∞)の各点で0に収束する。

（以下略）

（解答終）

 

少しだけ説明すると、

n>1/aのとき（右図参照）、、

任意のε>0に対して、

 　　

にすればいいわけだにゃ。

この不等式をと解くと、

　　

になる。

だから、1/aεよりも大きな自然数Nを選べば、

　　

になる。

なのですが、このNは

　　

という２つの条件を同時に満たさなければならないので、この条件を同時に満足するように、

　　

とする。

 

で、n>1/aやN>1/aとするというのは、右の図のように

　　

となるのを避けるため。

n>1/a、または、N>1/aにとれば、

　　

となり、n≧Nではは減少列になる。

関数列、数列だから、自然数nは、εやaにあわせて、いくらでも大きく取れるからね〜。

 

解答のaは、xにしても良かったんだけれど、理解を容易にするために、あえてaにしたにゃ。

xだと変数というイメージがどうしてもつきまとうし、aを取り出した時点で、aは一つの値、点として固定されるので、このことを強調するためにaとしました。

 

言い忘れたけれど、

一様収束の判定のところで、

x=1/nのとき、いかなるε>0をとっても、

　　

となるので、関数列は一様収束でない

という解答もありです。

 

何故、こうなるかというと、一様収束の定義

　　

を否定すると、

　　

となり、これが一様収束でないことの定義になるから。

これを人間語に訳すと、

「ある正数ε>0があって、全ての自然数Nに対して、

　　

とすることができる、自然数nと定義域Dに属する点xが存在する」

とかになりますかね。

そして、これが、関数列は一様収束でないことの定義になる。

x=1/n、ε=1のとき、この条件を満たしているから、は一様収束でないと結論できる。

 

これを使うと、次の関数列が一様収束するかどうかの判定を簡単に行うことができる。

 

問題

　　

は、x≧0に属する全ての点xでf(x)=xに収束することを示せ。

また、これは一様に収束するか答えよ。

【略解】

　　

よって、x∈[0,∞)の全ての点xでf(x)=xに収束する。

x=1/√nのとき、

　　

となるので、この関数列は、一様に収束せず、各点収束である。

（解答終）

 

もちろん、

　　

よって、一様収束でない

としてもよい。

なお、このとき、自然数nはある１つの値に固定されていることに注意。

x≧0のとき、x²/nには上限はないから、こうなるにゃ。

 

宿題　次の関数列はx≧0の各点で収束するが、一様に収束しないことを示せ。