距離空間の問題

距離空間の問題

 

問題１　を距離空間とする。

とおけば、d'もX上の距離関数となり、d'から定まる開集合とdから定まる開集合は一致することを示せ。

【解】

三角不等式

が成立することを示す。

とおけば、fは単調増加関数である。

dはX上の距離関数だから

したがって、

OとO'を、それぞれ、距離dとd'で定まる開集合とする。

x∈Oとすると、あるε>0があって、

とできる。

δ>0を

にとり、

とすると、

となり、

Oはd'の意味での開集合となる。

x∈O'とし、ある0<δ<1があって、

とすることができる。

ε>0を

にとり、

とすると、

となり、

となり、O'はdの意味での開集合となる。

よって、dとd'で定まる開集合は一致する。

（解答終）

 

 

問題２　Xを集合とする。X上の距離d₁とd₂がある正の定数aが存在して、任意のXの元x,yに対して、

を満たしているとする。このとき、d₁で定まる開集合はd₂で定まる開集合になることを示せ。

【解】

Oをd₁で定まる開集合とする。

x∈Oとすると、ある正数εがあって、

とすることができる。

とし、

とすると、

よって、

よって、Oはd₂で定める開集合となる。

（解答終）

 

 

問題３　上の距離

で定める開集合が一致することを示せ。

【解】

仮定より、

が成立する。

問題２とより、d₁で定まる開集合はで定める開集合となる。

また、問題２とよりで定める開集合はd₁で定める開集合となる。

よって、とd₁(x,y)で定める開集合は一致する。

（解答終）