お前らに問題！！ （集合・位相編）

お前らに問題！！

 

問題　次の問に答えよ。

（１）　Aを空でない集合とする。A⊂Bであることの必要十分な条件は、であることを示せ。ここで、はBの補集合を表す。

（２）　を距離空間とし、AをXの空でない部分集合とする。このとき、次の関係が成り立つことを示せ。

ここで、はAの開核（集合Aに包まれる最大の開集合）、はAの閉包（集合Aを包む最小の閉集合）をあらわす。

 

これだけでは、（２）は解けないかもしれないので、ヒントを与えるにゃ。

だにゃ。

更にヒントを出すと、

となって、（１）より、

って、ほとんど解いてしまったケロ(^^ゞ

 

なお、B(x;ε)はxを中心とする半径ε>0の開球、すなわち、

だにゃ。

 

わかりにくいヒトは、Xを実数全体の集合Rとし、

として、（２）を解いてもいい。