ローレンツ変換の”よもやま話”

ローレンツ変換の”よもやま話”

 

この式を見て、なにか気づかないケロか？

　　

ここで、cは光の速さ、sはローレンツの不変量。

y=ctとおき、s=1とすると、

　　

になるんだケロ。

（１）は双曲線で、次のようなグラフになる。

 

 

 

さてさて、ここで何の脈絡もなく、次の関数（双曲線関数）を定義する。

　　

すると、

　　

になる。

したがって、

　　

とおくと、双曲線（１）は

　　

になるにゃ。

なぜ、この関数を双曲線関数と呼ぶかわかったケロか。

 

このほかに、

　　

 

三角関数はこうだろう。

　　

一方、双曲線関数は

　　

と、似たような性質を持っている。

 

三角関数にはタンジェントtan x があるから、

　　

と定義したくなるのは人情というもの。

そして、この微分を求めると、

　　

となりまして、

　　

と同じような形になる。

 

問　次の公式を示せ。

　　

 

 

さてさて、ローレンツ変換は、

　　

だにゃ。

行列で書くと、

　　

ここで、

　　

だケロ。

したがって、

　　

になる。

そこで、α、αβを双曲線関数を用いて、

　　

とおくと、ローレンツ変換は

　　

になる。

 

この式は、原点まわりの回転

　　

とよく似ているにゃ。

まっ、原点まわりの回転の場合は、x²−ct²がはなく、

　　

が不変量になるという違いはあるんだけれど・・・。

 

ddt³さんが「ローレンツ変換は原点まわりの回転のようなもの」というのは、こうしたことを踏まえての発言なんだケロよ。

 

 

この曲をセレクトしたのには、深い意味があるにゃ。

だって、ローレンツの不変量s²は、虚数単位iを用いると、

　　

と書けるんだから。

 

 

 

さらに、実数という制約を捨て、さりげなく、ローレンツ変換を

　　

と書き換えるにゃ。

これでだいぶ回転らしくなったケロ。

 

こうすると、

　　

 

となり、s²=x²−(ct)²はこの座標変換によらず一定の量となる。

s²=x²−(ct)²は、通常の空間での距離ではないけれど、この虚数単位iが入った不思議な空間の距離みたいなものになるってわけだわさ。