特殊相対性理論とローレンツ変換

特殊相対性理論とローレンツ変換

 

アインシュタインの特殊相対性理論の仮定は次の２つ。

１　物理法則はどの慣性系でも同一。（相対性）

２　光速cは観測者および光源の速度によらずどの慣性系でも同じ一定の値cをとる。（光速度不変の原理）

 

時刻t=t'=0で静止している座標系Sとx方向に一定速度Vで移動している座標系S’の原点は一致しているとする。このとき、

　　

である。

時空の一様性からx'とxは次のような１次式で表されなければならない。

　　

静止している座標系Sからみると、x方向に一定速度Vで移動している座標系S'におけるS’の原点のO'の座標x'=0は座標系Sのx=Vtになる。

したがって、（１）式は

　　

の形になるであろう。

ここで、１の相対性より、x、tを入れ替え、さらにVを−Vに置き換えると、

　　

時刻、t=t'=0に座標系Sと座標系S'の原点を出た光は、２の光速度不変の原理から、x=ct、x'=ct'の位置にある。

t=x/cを（２）式に、t'=x'/cを（３）に代入すると、

　　

となる。

（４）と（５）の左辺、右辺を掛けると、

　　

xx'≠0だから、両辺をxx'で割ると、

　　

ここで、β=V/cとおくと、

　　

これを（２）、（３）式に代入すると、

　　

という変換式が得られる。

これをt,t'について解くと、

 

　　

となる。

この（６）〜（９）式をローレンツ変換という。

行列を用いて表すと、ローレンツ変換は次のようになる。

　　

 

V>cのとき、つまり、β>1のとき、は虚数になるので、光速cより速く運動できないということになる。

また、

　　

となるので、s²=x²−(ct)²は不変量（ローレンツ不変量）である。

 

インチキなローレンツ収縮の説明

 

　　

を固有の長さという。

x方向に等速度Vで動いている座標系Sのx₁'、x₂'の静止している座標系Sにおける値をx₁、x₂とすると、

　　

になる。

したがって、

　　

したがって、運動している物体は運動方向の長さがの割合で縮むことになる。

これをローレンツ収縮という。

 

このローレンツ収縮の話には少しインチキが入っているので、 注意が必要だにゃ。