連結性

連結性

 

位相空間に対して、Xの開集合O₁、O₂で

　　

を満たすものが存在しないとき、は連結空間であるという。

位相空間において、Xの部分集合Aに対して、Xの開集合O₁、O₂で、

　　

を満たすものが存在しないとき、Aはの連結部分集合という。このことは、部分空間が連結空間であることと同値である。

 

定理１　位相空間に対してXが連結であることと、∅とX以外に開集合であり同時に閉集合であるようなXの部分集合が存在しないことと同値である。

【証明】

Xは連結であるとする。

もしAは、A≠∅、A≠X、かつ、開集合であり同時に閉集合であるならば、

とすると、Bは開集合で同時に閉集合。

　　

となり、Xが連結であることと矛盾。

Xと∅以外に開集合であると同時に閉集合であるXの部分集合は存在しないとする。

もし、Xが連結でなければ、Xの開集合O₁、O₂で

　　

を満たすものが存在する。

これはであることを意味するので、O₁は開集合であると同時に閉集合となる。

これは矛盾。

（証明終）

 

例　通常の位相に関して、実数全体の集合Rは連結である。

【証明】

Aを開集合であると同時に閉集合であるRの空でない部分集合とする。

Aの一点aを固定し、

　　

とする。

B≠∅とすれば、aはBの下界なので、Bは下限をもつ。そこで、γ＝inf Bとおくと、γ≧aであるが、Aは開集合でa∈Aであるからa<γであり、[a,γ)⊂A。また、Aは閉集合でもあるので、γ∈A。

Aは開集合であるから、正数εで

　　

であるものが存在する。

したがって、[a,γ+ε)⊂Aとなり、

　　

となり、γがBの下限であることに矛盾する。

したがって、B=∅。

同様に、C=∅。

ゆえに、開集合であると同時に閉集合であるRの空でない集合はR自身となる。

よって、通常のRの位相に対して、Rは連結である。

（証明終）

 

 

定理２　を位相空間とする。Xの部分集合Aについて、次のことは同値である。

（１）　Aは連結集合である。

（２）　Xの開集合O₁、O₂が

　　

を満たせば、A⊂O₁、または、A⊂O₂である。

【証明】

（１）⇒（２）

Xの開集合O₁、O₂が

　　

を満たし、さらに、かつとする。

A⊂O₁∪O₂かつよりO₂∩A≠∅である。同様に、O₁∩A≠∅。

これはAが連結集合であることと矛盾。

（２）⇒（１）

Xの開集合O₁、O₂が

　　

を満たすと仮定すると、（２）よりA⊂O₁またはA⊂O₂となる。

A⊂O₁かつO₁∩O₂∩A＝∅よりA∩O₂=∅となり矛盾。

A⊂O₂かつO₁∩O₂∩A＝∅よりA∩O₁=∅となり矛盾。

よって、このようなO₁とO₂は存在しないので、AはXの連結部分集合である。

（問題終）

 

 

定理３

写像f:X→Yを位相空間からへの連続写像とし、Aをの連結集合とすれば、f(A)はの連結集合である。

【証明】

相対位相を考えることによって、A=X、f(X)=Yの場合に帰着できるので、A=X、f(X)=Yとする。

EをYの開集合であると同時に閉集合であるとする。

fは連続写像なので、D＝f⁻¹(E)はXの開集合であると同時に閉集合。また、Xは連結空間なので、D＝∅またはD＝Xである。

これよりE＝∅またはE＝Yとなる。

よって、Y=f(A)は連結集合。

（証明終）

 

定理４　を位相空間、AがXの連結部分集合であるとき、

となるBもXの連結部分集合である。特に、Aが連結部分集合であればその閉包も連結部分集合である。

【証明】

Xの開集合O₁、O₂で

　　

とする。

A⊂BかつB⊂O₁∪O₂だから、A⊂O₁∪O₂である。

かつB∩O₁＝∅、B∩O₂＝∅だから。よって、A∩O₁＝∅、A∩O₂=∅（註）。

Aは連結集合だから、

　　

また、A⊂Bだから

　　

ゆえに、BはXの連結集合である。

（証明終）

 

（註）　OがXの開集合であるとき、

　　

なぜならば、

　　

だから。

 

 

定理５　（中間値の定理）

f:X→Rを連結な位相空間で定義された連続関数とする。Xの２点x₁、x₂のfの値を

　　

とすれば、α<γ<βであるすべての実数γに対して、f(x)=γとなるXの点xが存在する。

【証明】

α<γ<βで、f(x)=γとなるXの点xが存在しないと仮定する。

　　

とおくと、fは連続写像なので、O₁とO₂はXの開集合である。

このとき、

　　

となりXが連結であることに反する。

よって、α<γ<βである実数γに対して、f(x)=γであるXの点xが存在する。

（証明終）