第１１回 コンパクトハウスドルフ空間

第１１回　コンパクトハウスドルフ空間

 

定理１　ハウスドルフ空間において、コンパクト集合AとAに属さないXの点xは常に分離される。

【証明】

はハウスドルフ空間だから、Aの各点aとxとは開集合で分離できる。

よって、開集合Oで、a∈Oかつであるものが存在する。

したがって、

　　

はAの開被覆である。

Aはコンパクトだから、に属す有限個の開集合を選んで、

　　

とすることことができる。

とおけば、となり、各がに属するので、。ここで、とおけば、UとVは互いに交わらない開集合で、x∈UかつA⊂V。

したがって、コンパクト集合AとAに属さない点xは開集合によって分離できる。

（証明終）

 

定理２　ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合である。

【証明】

Aをハウスドルフ空間のコンパクト集合とする。

定理１より、AとAの補集合の各点xは開集合によって分離できるので、点xはAと交わらない開近傍を持つことになる。よって、点xはの内点。

したがって、は開集合であり、Aは閉集合。

（証明終）

 

距離空間はハウスドルフ空間であることと定理２から、距離空間のコンパクト集合は閉集合である。また、距離空間上の閉集合は有界なので、距離空間上のコンパクト集合は有界閉集合である。

 

 

定理３　コンパクト空間上の実連続関数は最大値と最小値をとる。

【証明】

Xをコンパクト、f:X→Rを実連続関数とすると、像f(X)はRのコンパクト集合だから有界閉集合。よって、f(X)は最大値と最小値をもつ。

（証明終）

 

 

定理４　ハウスドルフ空間において、互いに交わらないコンパクト集合は開集合によって分離される。

【証明】

A、Bを互いに交わらないハウスドルフ空間とする。

定理１によって、AとBの各点bとは開集合によって分離できるので、

　　

はBの開被覆になる。

Bはコンパクトだから、の有限個の開集合を選び、

　　

とすることができる。

とおけば、各がに属するので、。

とおけば、UとVは互いに交わらない開集合で、A⊂UかつB⊂V。

よって、 互いに交わらないコンパクト集合は開集合によって分離される。

（証明終）

 

定理４の系　コンパクトハウスドルフ空間は正規空間である。