アルキメデスの公理とその応用

アルキメデスの公理とその応用

 

Nを自然数全体の集合、Qを有理数全体の集合、Rを実数全体の集合とする。

 

アルキメデスの公理

任意の正数a、b∈Rに対して、適当なn∈Nをとると

　　

とすることができる。

【証明】

すべてのn∈Nに対して、

　　

であると仮定し、矛盾を導けばよい。

このとき、全てのn∈Nに対して

　　

となるので、NはRの上に有界な部分集合である。したがって、Nには上限が存在する。

そこで、α=sup Nとおくとα−１<αであるから、α−1<nを満たすnがNに存在する。

このとき、α<n+1となるが、n+1∈Nなので、αより大きな自然数が存在することになり、αがNの上限であることに反する。

これは矛盾。

したがって、

任意の正数a、b∈Rに対して、適当なn∈Nをとると

　　

とすることができる。

（証明終）

 

 

命題１

a、b∈R、a<bならば、a<r<bとなるr∈Qが存在する。

【証明】

a<0<bのとき、r=0をとればよい。したがって、0≦a<bまたはa<b≦0の場合について考えればよい。

そこで、0≦a<bと仮定すると、b−a>0だから、アルキメデスの公理より

　　

となる自然数nが存在する。

このnに対してna<mを満たす自然数mが存在する。

このようなmの最小値をとると、

　　

であるから、

　　

となる。

したがって、このm/nをrにとればよい。

（証明終）

 

 

命題２

a,b∈R、a<bならば、a<r<bとなるr∈Qが存在する。

【証明】

αを実数とする。

a<bよりb−a>0。よって、

　　

となる自然数nが存在する。

よって、

　　

このnに対して

　　

となる自然数mが存在するので、その最小のものをmとすると、

　　

ゆえに、

　　

すなわち、

　　

よって、

　　

である。

αを有理数にとり、

　　

とすれば、

（証明終）

 

なお、上記証明のαを無理数にとれば、

命題　a<bである任意の実数a,bに対し、a<r<bとなる無理数が存在する

の証明になる。