第８回 分離公理

第８回　分離公理

 

を位相空間とする。Xの相異なる２点aとbが、互いに交わらない開集合UとVでa∈U、b∈Vとなるものが存在するとき、点aとbは開集合で分離されるという。また、Xの相異なる部分集合AとBが、互いに交わらない開集合UとVで、A⊂U、B⊂Vとなるものが存在するとき、AとBは開集合で分離されるという。Xの部分集合AとAに属さない点xが、互いに交わらない開集合UとVで、A⊂U、x∈Vとなるものが存在するとき、Aとxは開集合で分離されるという。

 

例１　X=｛1, 2, 3｝とし、Xの冪集合をB(X)、すなわち、

　　

とし、離散空間について考える。

1∈X、2∈Xは、互いに交わらない開集合｛１｝、｛2｝で、1∈{1}、2∈{2}となるので、1と2は開集合{1}と{2}で分離可能。

また、{1}∈B(X)、{2,3}∈B(X)は、互いに交わらない開集合{1}、{2,3}で、{1}⊂{1}、{2,3}⊂{2,3}となるので、{1}と{2,3}は、{1}と{2,3}で分離可能。

{1,2}∈B(X)とに{1,2}に属さない3は、互いに交わらない{1,2}と{3}で、{1,2}⊂{1,2}、3∈{3}となるので、{1,2}と3は開集合{1,2}と{3}で分離可能である。

 

例２　n次元ユークリッド空間の任意の相異なる２点xとyは、

　　

とおくと、

となるので、開集合で分離可能である。

 

位相空間は、Xの相異なる２点が、互いに交わらない２つの開集合で常に分離されるとき、ハウスドルフ空間という。このとき、位相はハウスドルフの分離公理を満足するという。

 

例３　密着空間はハウスドルフ空間でなく、密着位相はハウスドルフの分離公理を満足しない。

問１　X=｛1, 2, 3｝とし、Xの冪集合をB(X)とする。このとき、離散空間はハウスドルフ空間であることを確かめよ。また、一般の離散空間の場合はどうか。

【解】

x,y∈X、かつ、x≠yとする。

　　

よって、離散空間はハウスドルフ空間である。

（解答終）

 

位相空間は、Xの互いに交わらない２つの閉集合が、開集合で常に分離されるとき、は正規空間であるといい、位相は正規であるという。

また、は、Xの任意の閉集合FとFに属さない点xが常に開集合で分離されるとき、は正則空間であるといい、位相は正則であるという。

 

問２　X=｛1, 2, 3｝とし、Xの冪集合をB(X)とする。このとき、離散空間は正規空間であるか。また正則空間であるか。

 

 

問題１　ハウスドルフ空間の１点集合は常に閉集合であり、したがって、正規ハウスドルフ空間は正則空間であることを示せ。

【略証】

xをハウスドルフ空間の点、とする。

仮定より、x≠y、かつ、ハウスドルフ空間なので、互いに交わらない開集合UとVで、x∈X、y∈Vとすることができる。

これはである任意の点yがの内点であることを表しており、したがって、は開集合である。よって、１点集合は閉集合。

 

Xの閉集合をF、x∉Fとする。

正規ハウスドルフ空間なので１点集合{x}は閉集合であるので、{x}と閉集合Fとは、U∩V＝∅である開集合UとVで、{x}⊂U、F⊂Vとすることできる。

また、x∈{x}なので、x∈U、F⊂V。

よって、正規ハウスドルフ空間は正則空間である。

（略証終）

 

問題２　距離位相は常にハウスドルフの分離公理を満足し、かつ、正規であることを示せ。

【略解】

を距離空間とする。

x,y∈、x≠yとし

　　

とすると、

　　

よって、距離位相は常にハウスドルフの分離公理を満たす。

また、AとBをXの閉集合でA∩B＝∅とする。

　　

とすると、UとVは互いに交わらない開集合で、A⊂U、B⊂V。

よって、距離位相は常にハウスドルフの分離公理を満足し、正規である。

（略解終）