質点系の力学 第４回 ロケットの運動

質点系の力学　第４回　ロケットの運動

 

時刻ｔと時刻t+dtのあいだにロケットの質量がmからm+dmに変化したとする。dm<0で、−dmのガスをロケットに対し一定の速さuで後方に噴出し、これによりロケット本体の速度はVからV+dVに増加するとする。

このとき、ロケットと噴出されたガスを合わせた運動量は

時刻tのとき　P=mV

時刻t+dtのとき　

２次以上の微少量を無視すれば、

　　

外力の総和をFとすると、運動量と力積の関係から

　　

なので、

　　

 

という運動方程式を得る。

ロケットではdm/dt<0だから、（１）の右辺第２項は正となり、ロケットの速度Vを増加させる働きをもち、この項をロケットの推力という。

 

さて、地表から鉛直上方にロケットを打ち上げる場合、空気抵抗を無視するとロケットにはたらく外力は重力−mgのみなので、

　　

である。

これを（１）に代入すると、

　　

となる。

t=0におけるロケットの質量をm₀、ロケットの燃料消費が一定で、ロケットの質量が一定の割合で減少するとし、

　　

とおくと、

　　

これを（２）式に代入すると、

　　

これをt=0、V=0の条件で解くと、

　　

になる。

Ctが１に対して十分に小さいとき、

　　

なので、ロケットを打ち上げるためにはuC>gでなければならない。打ち上げ時にこの条件を満たさないとき、ロケットは上昇することができない。

打上げ時の質量m₀のうちの燃料以外のロケット本体の質量をMとすると、燃料を全て消費するまでの時間は

　　

より、

　　

したがって、燃料を全て使い切った時ののロケットの速度は、

　　

になる。

 

（参考：　小出昭一郎　力学　岩波出版）

 

らしいケロ。

 

地表から高さ1００ｋｍ以上の地点と地表での重力加速度の違いは、ニュートンの万有引力法則から、

　　

程度なので、国際宇宙ステーションの高さ（地表から約４００ｋｍの高さ）までロケットを打ち上げないのならば、重力加速度は地表の重力加速度g=9.80（m/s²）で一定とみなしてもいいのかもしれないね。