第２種楕円積分

第２種楕円積分

 

楕円

　　

の弧の長さsについて考える。

　　

とおくと、これは上の楕円のパラメータ表示（極座標とは異なるので注意）になるので、弧の長さは次式で与えられる。

　　

ここで、

　　

とおけば、楕円の弧の長さは次式で求められる。

　　

（１）式の右辺に現れる積分を第２種楕円積分といい、次の記号で表す。

　　

φ=π/2までの積分を第２種完全楕円積分といい、であらわす。

すなわち、

　　

楕円の周の全長をLとすると、対称性から、

　　

 

また、t=sinθとおくと、

　　

なので、

　　

になる。

これをルジャンドルの標準形という。

したがって、第２種完全楕円積分は

　　

 

 

問　次の曲線の長さを求めよ。

　　

【解】

この曲線の長さをsとすると、

　　

（解答終）

 

したがって、

　　

の長さLは