問題の答

 

楕円

　　

の全長の長さLは

　　

である。

ここで、

　　

 　　

このE(k)を第２種完全楕円積分という。

 

 

問題　曲線x²+xy+y²=2について、次の問に答えよ。

（１）　この曲線が楕円であることを示せ。

（２）　この曲線の全長を求めよ。

 

【解答例】

（１）　点(x,y)を原点を中心に反時計回りにπ/4回転させた点を(x',y')とすると、

　　

 

これをx²+xy+y²=2に代入すると、

　　

となり、これは楕円である。

 

（２）　a=2、b=2/√3とおくと、

　　

したがって、この楕円の全長Lは

　　

（解答終）

 

（１）は、

　　

そこで、行列

　　

の特性方程式を解くと、

　　

だから、

　　

・・・

 

と、線形代数やテンソルなどの知識を使って解くこともできる。

 

 

 

問題　a>0とする。点(a,0)を中心とする半径aの円について次の問に答えよ。

（１）　円の方程式を求めよ。

（２）　この円の極座標表示の方程式を答えよ。

 

 

【解答】

（１）　

 

（２）　として、上の円の方程式に代入すると、

　　

極座標なのでr>0。

したがって、

　　

（解答終）

 

極座標の場合、θは0≦θ<2πにとるのが一般的ですが、上のようにθの範囲を定めたほうがいいと思います。

 

(x−a)²+y²=a²を極座標平面に移すと、原点O(0,0)に対応する点が抜け落ちるんだケロよ。

だから、θ=±π/2のときになるので、r=0の場合を含めて

　　

にすればいいなんてことをしてはいけない。

 

r=2acosθという関係が成立するのは図を見れば明らかでしょう。

 

面積ですが、

　　

は、極座標変換によって

　　

に移ります。

そして、ヤコビアンJは

　　

だから、

  　

となる。

 

２重積分ではなく、

　　

という公式を使って面積を求めるならば、