対偶（法）と背理法は同じか？

背理法と対偶ですか・・・。

 

命題「pならばq」

　　

と、その対偶「qでないならばpでない」

　　

は同値（真偽が一致する）。

だから、

対偶である「qでないならばpでない」を証明すれば、「pならばq」が（自動的に）証明されたことになる。

 

p⇒qの真偽表

p	q	p⇒q
真	真	真
真	偽	偽
偽	真	真
偽	偽	真

 

 

対偶¬q⇒¬pの真偽表

p	q	¬q	¬p	¬q⇒¬p
真	真	偽	偽	真
真	偽	真	偽	偽
偽	偽	偽	真	真
偽	偽	真	真	真

 

 

対して、背理法は

　

のとき

 

　

となるので、（２）のp∧¬qが偽であることをを示せれば、その否定である（１）p⇒qは真になるといったような証明法。

より正確には、p∧¬qを仮定し、この仮定から矛盾は発生させて、（１）が真であることを示す証明法。

 

ですから、f272さんの回答３でいいのだと思います。

　https://okwave.jp/qa/q9507905.html

 

ただし、（１）のタイプのような命題はです。

「√２は無理数である」の証明の場合、つまり、「pである」という命題の証明はすこし事情が異なって来るように思います。

f272さんも回答７で、「この問題の場合、背理法と対偶的証明は実質同じ証明になる」って言っていることだし。

それでいいんじゃないかですか。

だいたい、真正面から証明できず、さりとて対偶的な証明にもうまく還元できないから、背理法を使って誤魔化すんですよ(^^ゞ

 

質問者を置き去りにして、この問題にこれ以上深入りするのはやめたほうが賢明だと思いますよ。

質問者をいたずらに混乱させるだけですって。

それに、この問題は危険すぎます。死を招きますって。

 

ところで、

互いに素な整数n，mで√２＝n/mと表せないならば，√２は無理数である。
の対偶をとって
√２が有理数であるならば，互いに素な整数n，mで√２＝n/mと表せる。

 

対偶をとれば確かにこうなりますけれど、下線部は・・・。

この質問の回答４のように、ふつう、「互いに素な整数n、mで√2=n/mと表わせない」になるんじゃないかな。

前提「√２は有理数である」が間違っているから、下線部の部分の真偽に関わらず、対偶のこの命題は無条件で真になるけれど・・・。また、誤った前提からはどのような結論も導き出せるので、うまく構成すれば、その誤った仮定のもとで下線部を証明することもできるのでしょう。すると、今度は、下線部の真偽が定まらなくなり、下線部は命題でないことになってしまう。

これでは、限りなく、「嘘つきパラドクス」に近いものになってしまうような・・・。

 

それはそれとして、

 

　背理法被害者の会

 

　http://abel.a.la9.jp/sub1.html

に、「√２が無理数である」ことの証明の詳しい解説が出ているので、ここなどが参考になるのではないでしょうか。

さらに、

　http://abel.a.la9.jp/sub3.html

　http://abel.a.la9.jp/sub4.html

などは、過激ですが、読み物として面白いと思います。

 

コメント 4

　すいません、ネコ先生。我慢しきれずやっちゃいました。

　　https://okwave.jp/qa/q9507905.html

のNo.8。

　http://abel.a.la9.jp/sub3.htmlの中にも書いてあるように、背理「法」と対偶「関係」は本当は違います。それはわかってるんですよ。

　でも質問者がききたいのは、そんな事じゃない。背理法は推論法則と言われる超数学的規則、対偶関係はそれから導かれる非明示公理なんだけど、あの場でその違いを強調してどうなる？。

　みんなそこをわかってくれぇ～！。

　じっさい対偶法則を認めれば、背理関係を逆に導けるじゃないか。

　・・・だったらNo.8なんか書くな（反省）。

by ddtddtddt (2018-06-15 14:47) 

こんにちは。No.9を書いておきました。

> ただ素数の濃度の証明は、ふつうの背理法じゃない事は自分もわかります。たぶん背理法でしか証明できない。

これなんだけど，最近知った証明です。
n1とn1+1は互いに素だからn2=n1*(n1+1)は少なくとも2つの異なる素因数を持つ。同様にしてn3=n2*(n2+1)は少なくとも3つの互いに異なる素因数を持つ。以下同様にして任意の個数の素因数を持つ数を構成できるので，証明できたことになる。
by f272 (2018-06-15 21:46) 

f272さん、はじめまして。

そして、
ご丁寧に、お知らせいただいて、ありがとうございます。
早速、拝見させていただきます。


by nemurineko (2018-06-15 23:09) 

　ddt^3です。金曜日に帰宅し今まで寝ておりました(^^;)。

　f272さん、わざわざありがとうございます。OKWAVEの方で的確な回答、よくお見受けします。

　で以下は、個人的意見だしほとんど趣味の問題と思えるので、言ってみるだけです(^^)。

＞・・・証明できたことになる。

　有限でない事を直接言うためには、その計算手続きが、どこかで停止しない事を言わなければならない。もちろんどこかで止まる訳ないんですけど。
　そうすると「～～が何回目かで止まるとすると・・・」とか「～～が有限とすると・・・」みたいな、背理法の形がとても自然だなぁ～と思えます。

　「背理法でしか証明できない」は言い過ぎでした(^^;)。
by ddtddtddt (2018-06-17 08:08)