微分方程式よもやま話１０ 連立微分方程式

微分方程式よもやま話１０　連立微分方程式

 

次の連立微分方程式は、解くだけならば簡単だ。数学を得意とする高校生でさえ、親切な誘導があれば解けるレベルのものであろう。

 

問題　次の連立微分方程式を解け。

　　

【解答１】

①＋②

　　

①−②

　　

③＋④

　　

③−④

　　

よって、

　　

ここで、c₁、c₂は任意定数。

（解答終）

 

解に現れる係数1/2が目障りならば、

　　

とおき、

　　

とすることもできる。

これは、まったく、好みの問題である。

 

高校数学の範囲を超えるが、より一般的な、次のような解き方もある。

 

【解答２】

①をyについて解くと、

　　

これを②に代入すると、

　　

２階微分方程式④の特性方程式は

　　

よって、

　　

これを③に代入すると、

　　

よって、

　　

ここで、C₁、C₂は任意定数。

（解答終）

 

連立微分方程式

　　

の解はの形になるであろうと予想すれば、次のように解くこともできるだろう。

【解答３】

　　

と仮定し、①、②に代入すると、

　　

よって、上の連立方程式がa=b=0以外の解をもつためには、でなければならない。

したがって、

　　

λ=3のとき、

　　

ここで、b=C₁とおくと

　　

λ=1のとき

　　

ここで、a=C₂

　　

よって、

　　

ここで、C₁、C₂は任意定数。

（解答終）

 

解答３は、すこし言葉足らずなのだけれど・・・。

 

問　次の連立微分方程式を解け。

　　

 

 

 

【解答例】

　　

①式をyについて解くと

　　

これを②式に代入すると、

　　

ここで、④の右辺を０とし、

　　

とすると、微分方程式⑤の特性方程式とその解は

　　

したがって、微分方程式⑤の一般解は

　　

また、x=−t−1は④の特殊解だから、④の一般解は

　　

③より、

　　

したがって、

　　

ここで、C₁、C₂は任意定数。

（解答終）