十進BASICとマチンの公式を用いて円周率πを１００桁求める

十進BASICとマチンの公式を用いて円周率πを１００桁求める

 

円周率πの近似値を１００桁求めたところで何の役にも立たないけれど、十進BASICを使って、πの近似値を１００桁求めてみた。

計算結果は次の通り。

 

Π=3.

14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

82148 08651

 

すこし余分を見て、１１０桁まで表示してある。

 

この計算に使用したプログラムは次の通り。

 

REM Machiの公式を用いたπの近似計算

OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH

LET n=100

LET S=0

LET FMT$="#."&REPEAT$("#",110)

PRINT USING fmt$

FOR k=1 TO n

LET A=(-1)^(k-1)/(2*k-1)

LET B = 4/5^(2*k-1)

LET C = 1./239^(2*k-1)

LET S = S + 4*A*(B-C)

NEXT k

PRINT USING fmt$:s

END

 

 

これをプログラムと呼ぶのが恥ずかしい。

計算効率も悪いし・・・。

プログラムのわかりやすさ（可読性）を重視したということで、この点は大目に見てもらおう。

 

これくらいの計算回数ならば計算速度は問題にならないけれど、計算速度を重視するならば、FOR NEXTループのべき乗計算は絶対に避けるべき。

たとえば、

このべき乗計算は

という漸化式に書き換えることができる。

 

だから、たとえば、次のように書き換えたほうがいいと思うにゃ。

 

 

REM Machiの公式を用いたπの近似計算

OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH

 

LET N=100

LET S=0

LET S5=1/(5*5)

LET S239=1/(239*239)

LET f=1

LET B=1/5

LET C=1/239

 

FOR K=1 TO N

LET A=f/(2*k-1)

LET S = S + A*(16*B-4*C)

LET f=-f

LET B = S5*B

LET C = S239*C

NEXT k

 

LET FMT$="#."&REPEAT$("#",110)

PRINT USING fmt$

PRINT USING fmt$:S

 

END

 

 

FOR NEXTループの反復回数nを１００万くらいすると、おそらく、計算速度の違いを体感できると思う。

 

このプログラムを使って、１０００桁まで計算をしてみたのだが、９９６桁目の値が異なってしまった。十進BASICの１０００桁の精度を誇る、計算拡張モードを使ったのだけれど、このあたりが十進BASICで計算できる円周率πの限界のようだ。