［微分方程式の超難問に挑む(^^)］

［微分方程式の超難問に挑む(^^)］

 

　　

　(1)を求積法で解きます。いいですか、微分方程式は幾何学的条件を与えたに過ぎないのですから、予断を交えず式をそのまま読むのです。特にわからなくなった時、面倒くさくなった時は常に(1)に戻るのです。

 

①x＝0：

　(1)を変数分離法で解くためには最初にdy/dx＝の式にする必要があるので、まずxで割ります。この場合分けはx＝0の例外処理のためです。しかしこの例外の意味を考える必要があります。

　x＝0のとき(1)はy＝0です。他の条件は何もないので、(x，y)＝(0，0)は(1)の解です。これは初期条件y(0)＝0といういわゆる特殊解の一点なのでしょうか？、それとも初期条件がy(0)＝0のy(x)＝0という分岐した解の特殊解の一点なのでしょうか？、はたまたx＝0だけで定義された初期条件y(0)＝0のy＝0という一点だけの特殊解なのでしょうか？。

　全部の可能性があり、後でいわゆる一般解を決定した時に微分可能に接続できたりして、一般解の一部になる可能性すらあります。

　ところで一点だけの特殊解って変じゃねぇ～？って意見もあると思うのですが、(1)にはy(x)の定義域に関する条件すらありません。関数に一点だけで定義されたものが許される以上、一点物も無視できません。

 

②x≠0：

　　

と出来ます。これの意味は、x≠0で(2)を満たすy(x)を求めよだと思うでしょうが、じつは違います。求積してみたら、

　　

みたいな項が出てきて、－Ｃ≦x≦Ｃでなければならない事が後でわかった、なんて事は良くあります（sin，cosの積分では必ずこうなる）。従って(2)の意味は、x≠0の条件で(2)を満たすy(x)を、可能なすべての定義域上で求めよ、です(^^)。微分方程式は幾何学的条件を与えたに過ぎないからです。

 

③x≠0かつy＝0：

　(2)を変数分離法で解くためには次に、右辺のyを左辺に移項して[左辺：dy/dxとyのみ]＝[右辺：xのみ]の形にする必要があります。これはそのための例外処理です。この例外処理の意味も、①と同様に検討する必要がありますが、とにかく解と呼べるものは[x≠0でy(x)＝dy/dx＝0]となるものです。

 

④x≠0かつy≠0：

　x≠0かつy≠0の条件下で、(2)を満たすy(x)を、可能なすべての定義域上で求めよ。

　　

　ここにＡは、e^log|x|＋Ｃ＝e^Ｃ×e^log|x|＝e^Ｃ×(±x)＝±e^ＣxにおいてＡ＝±e^Ｃと表した任意定数ですので、Ａ≠0です。

 

　さて、微分方程式は幾何学的条件を与えたに過ぎないのでした。そして、微分方程式はいたるところでいくら分岐してもOKでした(^^)。そうでない事を確認する実用的手段が、いわゆる一般解でした。だとすれば最後にやるべき事は、①～④のすべての結果を比較して解をとりまとめる事です。

 

　(3)のy＝ＡxはＡ≠0でしたので、その可能なすべての定義域は④より、[x≠0となる全ての実数]です。

　x→0の時はy→0となりdy/dx＝Ａなので、y＝Ａxは一階微分可能な形で(1)を満たすようにx＝0まで延長できます。従ってこの時点で、いわゆる一般解や分岐した解の一点(x，y)＝(0，0)はすべて(3)に吸収されます。

　残るのは一点物、および分岐した解の候補：[任意のxでy(x)＝0]と[x≠0でy(x)＝dy/dx＝0]という事になります。まず一点物にdy/dxが存在するのは不合理なので、一点物は解ではないと判断できます。

　[x≠0でy(x)＝dy/dx＝0]とは[x≠0でy(x)＝0]です。これは[任意のxでy(x)＝0]に含まれます。

 

　こうして残るのは、[Ａ≠0かつy(x)＝Ａx]と[y(x)＝0]になります。

　(1)を満たす形でのＡ＝0への接続が、y(x)＝Ａxにあり得るか検討しましょう。Ａ→0の時、明らかにy(x)＝Ａx → y(x)＝0です。一方dy/dx＝Ａなので最初からＡ＝0として(1)へ代入してもy(x)＝0です。

 

　y(x)＝Ａxの(1)を満たす形での、Ａ＝0への接続が存在します。

　分岐解y(x)＝0は、いわゆる一般解(^^;)の任意定数Ａ≠0をＡ＝0まで延長したものとして表せます。

 

　よって(1)の一般解は、y(x)＝Ａx（Ａは任意）です。意に反して今回は、きれいにまとまっちゃったな(^^;)。ネコ先生、うまく選びましたね(^^)。

（執筆：ddt²さん）