お前らに質問（５月１２日） 数列の極限

お前らに質問！！

 

問題

　　

で与えられる実数の数列があるとする。

この数列が収束するような初項x₁の範囲を求めよ。

 

 

ノーヒントじゃ辛いかもしれないので、ヒントを幾つか与えることにする。

 

（１）式で与えられる数列が極限値αをもつならば、

　　

したがって、極限値の候補は−3,1,2。

 

x₁=−3のとき

　　

x₁=1のとき、

　　

x₂=2のとき

　　

 

さらに、おまけとして、グラフを。

 

 

Rを実数全体の集合とし、

　　

で定義されるとすると、このグラフから

　　

で与えられる数列の極限値は、どれも、方程式

　　

の解、すなわち、RからRへの写像fの不動点になっていることがわかる。

 

ここまでヒントを与えたのだから、それぞれの極限値、すなわち、−3、1、2に収束する、x₁の範囲を求めろよな。

−3に収束するx₁の範囲、1に収束するx₁の範囲、2に収束するx₁の範囲を求めろって言ってんだ。

　　――表計算ソフトなどで、初期値の値x₁を変えて２０項くらいまで計算すれば、この答はすぐにわかる！！――

そして、できることならば、その条件のとき、その極限値に収束することを証明する。

できた奴は、コメント欄に解答を書いて、ネムネコのところまで送るケロ！！

 

のとき

 

のとき

答を教えたようなものだ。

 

画像元：YouTubeの上の動画

追加問題

　　

とすると、−3<f(x)<2となり、関数fは開区間（−3,2)から（−3,2)への写像となる。

さて、この写像fは縮小写像だろうか。

ちなみに、

とする。

0<c<1であるcが存在し、すべてのx,y∈Xに対し、

　　

が成立するとき、fを縮小写像という。

 

コメント 2

　ddt^3からもヒント。

　皆さん、クモの巣図法を使いましょう。使えば一目瞭然！(^^)。

　 http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2018-05-12

のネコ先生の(注２)。

　ところでネコ先生、自分以外に回答を送って来た人って、過去にいたんですか？(^^;)。
by お名前（必須） (2018-05-14 19:43) 

コメント、ありがとうございます。

☆　ところでネコ先生、自分以外に回答を送って来た人って、過去にいたんですか？(^^;)。
◇ddt²さん以外、いませんよ。
ただ、
「このFortranプログラムの出力がおかしいんだけれど、このプログラムの間違いを教えてください」
という私のお願いに答えてくださった方は、一人、います。

このブログの訪問者の圧倒的多数は、ROM、すなわち、読むだけなんです(>_<)
by nemurineko (2018-05-14 22:04)