マンデルブロ集合と充填ジュリア集合

マンデルブロ集合と充填ジュリア集合

 

カオスやフラクタルの話が出たので、フラクタル図形の代表的なマンデルブロ集合について少しだけ話すことにするにゃ。

フラクタル図形とは、「いかなる部分も全体に似ている図形」くらいの意味。

 

マンデルブロ集合とは、

　　

で与えられる複素数列が発散しないという条件を満たす複素数全体cがつくる集合のこと。

　　

とすると、

　　

となるので、x₀=y₀=0を計算の出発点として、これをもちいて順次計算することができる。

 

実は、マンデルブロ集合Mは

　　

と定義することもできるのだが・・・。

ここで、

　　

である。

 

それはそれとして、十進Basicにマンデルブロ集合を描くブログラムがあったので、それを用いて計算してみた結果は次の通り。

 

 

同じく十進BasicにすこしオシャレなCGを描くブログラムがあったので、それを用いてお絵かきしたものは次の通り。

 

 

次のサイトに、マンデルブロ集合を描くスクリプトがあるので、色々と遊んでみるといいと思うにゃ。

http://azisava.sakura.ne.jp/mandelbrot/script.html

 

YouTubeにある次の動画を紹介するケロ。

 

この動画にあるように、この図形の微小部分を取り出し、拡大すると、元の図形と似たような図形が次々とあらわれる。そして、その微小な部分を取り出し、拡大しても、元の図形と似たような図形が現れる。このような図形をフラクタル図形と言うにゃ。そして、このようなフラクタル図形の次元は一般に非整数次元なんだケロ。

このマンデルブロ集合と似た図形として、充填ジュリア集合と呼ばれるものがある。

 

ジュリア集合とは、漸化式

　　

で与えられる複素数列が発散しない初期値z₀全体の集合のこと。

十進Basicに充填ジュリア集合を描かせるプログラムがあるので、それを使って描かせた図形は次の通り。