第20回 順序型 [集合論入門]
第20回 順序型
を順序集合とする。全単射が存在し、fおよびf⁻¹がともに順序を保つ写像であるとき、ととは順序同型といい、
であらわし、fを順序同型写像という。
濃度の場合と同様に、順序集合全体のクラスをによって類別し、各同値類にラベルをつけることができる。順序集合(A,≦)に付けられたラベルを順序型といい、記号や単になどで表す。
すると、
が成り立つ。
有限濃度nをもつ集合A、Bにそれぞれの順序を与えて、順序集合を作ると、これらはつねに順序同型である。
何故ならば、A、Bの元は
と並べることができる。
とするとφは順序同型写像である。
したがって
これより、有限濃度nの集合から得られる順序集合の順序型はただ1つしか存在しない。
一般に、濃度αの任意の集合Aから作られる任意の順序集合(A,≦)の順序型をα−順序型というが、上で述べたことより、n−順序型は1つしかない。
しかし、αが無限濃度の場合、α−順序型は1つとは限らない。
たとえば、
は同型ではないから、とは、相異なる−型順序である。
自然数全体の集合Nの順序型をω、整数全体の集合Q、有理数全体の集合Qと実数全体の集合Rの順序型をそれぞれγ、η、λで表すことがある。
問1 A〜Bかつならば、となるようなB上の順序があることを示せ。
【解】
A〜Bだから、BからAへの全単射(1対1対応)φが存在する。
Bの任意の元x、yに対してのときとおくと、はB上の順序で、φはからへの順序同型写像となる。
よって、
である。
(解答終)
問2 であってもとなることがある。そのような例を1つあげよ。
【解】
とすると、
しかし、
(解答終)
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