第１９回 選択公理と整列可能定理

第１９回　選択公理と整列可能定理

 

§１　選択公理

 

Λを添字の集合とする集合系が与えられたとき、Λからへの関数fのうちで、Λのどの元λに対して

　　

となるようなものの全体を集合系の直積といい、

　　

で表し、各を直積因子という。

特に、とすれば、集合系の直積は、であるような組全体となり、これまでの直積の定義、つまり、

　　

と一致する。

Nを自然数全体の集合とし、Λ=Nのとき、

　　

で表すことがある。

 

集合系においてとなるものが少なくとも１つあるとき、その直積になる。この裏にあたる命題

Λ≠∅、かつ、すべてのλ∈Λに対して、

　　

が成り立つ

を選択公理という。

このとき、直積の元を集合系の選択関数という。

 

直積において、すべてのが同一の集合Aであるとき、をで表す。また、は、ΛからAへの写像全体の集合に一致する。

 

Aを任意の空でない集合とする。とおくと、X∈ΛならばX≠∅だから、選択公理により、Λによって定まる集合系の直積は空でない。いま、この元を１つとって、それをfとすれば、fはからAへの写像であり、すべてのに対してf(X)=Xとなる。このようなfをAの上の選択関数という。

 

先に、任意の無限集合Aは可算な部分集合をもつことを示した。

その際、Aから元a₁を選び、次にA−｛a₁｝から元a₂を選び、さらにA−｛a₁,a₂｝から元a₃を選び、以下の操作を繰り返すことによって可算集合を得たのだが、実は、この証明において、選択公理を暗黙のうちに使用している。

このことが明確になるように示すと次のようになる。

 

定理　任意の無限集合は可算部分集合をもつ。

【証明】

集合Aが無限集合であるとし、fを集合Aの上の１つの選択関数とする。

まず、とおく。次に、とおく。

同様に、一般に

　　

とおく。

すると、はAの可算部分集合である。

（証明終）

 

定理（濃度の大小）

A,Bを集合とする。AからBへの全射が存在すれば、｜B｜≦｜A｜である。

【証明】

を全射とする。

b∈Bに対して、

　　

とおくと、fは全射であるので、である。

よって、選択公理より、

　　

は空でない。

をその元とすれば、fが写像であることより、は単射。

したがって、

　　

（証明終）

 

§２　整列可能定理

 

空でない任意の集合Aに順序を定め、整列集合にできるか、という問題がある。

選択公理を仮定すると、この問いに肯定的に答えることができる。しかし、この証明は難しいので、ここでは整列可能定理のみを紹介し、整列可能定理から選択公理を証明することにする。

 

整列可能定理

任意の集合は、その上にある順序を定義して整列集合にすることができる。

 

問題　整列可能定理を用いて、選択公理を証明せよ。

【証明】

をであるような集合系とする。

　　

とし、整列可能定理によりAを整列する。この整列順序に関するの最小元をとすれば、はの元である。

よって、

　　

（証明終）

 

また、整列可能定理を用い、次の定理を証明することもできる。

 

定理　（濃度の比較定理）

α、βを任意の濃度とすると、

のうちの１つだけが成立する。

【証明】

｜A｜=α、｜B｜=βである集合A、Bをとり、整列可能定理により、A、Bのそれぞれの上に整列順序を与えることができる。

すると、

　

のうちのいずれか１つだけが成立する。

ゆえに、

（１）の場合は｜A｜=｜B｜、（２）の場合は、（３）の場合は。

すなわち、α=βまたはα≦βまたはα≧β。

したがって、α<β、α=β、β>αのいずれか１つが成立する。

（証明終）

 

§３　Zornの補題

 

Aを空でない順序集合とする。Aの任意の空でない全順序部分集合Xに対して上限が存在するとき、Aを帰納的な順序集合という。

 

Zornの補題

Aが帰納的な順序集合ならば、Aは極大元を持つ。

 

証明はしないが、次のことが知られている。

 

定理

次の（１）〜（３）は同値である。

（１）　選択公理

（２）　Zornの補題

（３）　整列可能定理

 

集合論の教科書などでは、選択公理→Zornの補題→整列可能定理の順に証明し、そして、整列可能定理から選択公理を証明し、選択公理、Zornの補題、整列可能定理の３つが同値であることが示されるのが一般的であるが、選択公理から整列可能定理を直接証明することもできる。

そして、この３つは同値なので、どれを出発点、つまり、公理に採用して、理論を展開してもよいのであった。