ラゲールの微分方程式と多項式

ラゲールの微分方程式と多項式

 

yについての２階線形微分方程式

　　

をラゲール（Laguerre）の微分方程式という。

 

ラゲールの微分方程式

　　

の１つの解は、次のn次多項式

　　

である。これをラゲールの多項式という。

　　

 

問題　次のことを示せ。

（１）　はn次の多項式である。

（２）　はラゲールの微分方程式

　　

の解である。

【証明】

（１）　ライプニッツの公式より

　　

 

（２）　とおくと、

　　

この両辺をn+1回微分すると、

　　

また、だから

　　

これを代入すると、

　　

（証明終）

 

ラゲールの多項式については、次の関係が成り立つ。

【証明】

（１）

　　

また、

　　

これを代入すると、

　　

 

（２）

　　

にライプニッツの公式を用いると、

　　

これを代入すると、

　　

 

（３）　を微分すると、

　　

n/xをかけると

　　

（証明終）

 

ライプニッツの公式

関数f、gがn回微分可能ならば