第１７回 順序集合

第１７回　順序集合

 

§１　順序集合と順序同型

 

集合X上の関係≦が任意のx、y∈Xに対して、次の条件を満たすとき、この関係を順序、または、半順序という。

≦がX上の順序であるとき、(X,≦)を（半）順序集合という。

x≦yかつx≠yであるとき、x<yと書く。

 

(X,≦)、(X',≦')を２つの順序集合とし、fをXからX'への写像とする。任意のx、x'∈Xに対して

　　

が成り立つとき、順序を保つ写像という。

さらに、単射が存在して、fおよびf⁻¹がともに順序を保つ写像であるとき、(X,≦)と(X',≦')とは順序同型であるといい、

　　

で表し、fを順序同型写像という。。

順序同型については、次のことが成り立つ。

　

（ⅰ）は、恒等写像が順序同型写像であることから明らか。

（ⅱ）は、が順序同型写像ならば、が順序同型写像であることによる。

（ⅲ）は、が順序同型写像ならば、が順序同型写像であることにことによる。

 

集合X上の関係≦が（１）〜（３）、さらに次の条件を満たすとき、この順序を全順序という。

　（４）任意のx、y∈Xに対して、x<y、x=y、x>yのいずれか１つが成り立つ

≦がA上の全順序であるとき、順序集合（A,≦）を全順序集合という。

 

自然数全体の集合N、整数全体の集合Z、有理数全体の集合Q、実数全体の集合Rは全順序集合である。

また、全部分集合の部分集合は全部分集合であり、全部分集合と順序同型である順序集合は全部分集合である。

 

自然数全体の集合Nの冪集合において、その元の間にA⊂Bが成立するとき、A≦Bとすれば、

が成立するので、これは上の（半）順序である。

しかし、A=｛1｝、B=｛2}とすると、A⊂B、A=B、A⊃Bのいずれも成立しないので、これは全順序ではない。

 

§２　部分順序集合

（A,≦）を順序集合、BをAの部分集合とする。このとき。Bの元はすべてAの元であるから、Bの元b、b'がAの元としてb≦b'であるとき、b≦'b'とすれば、≦'はBの上の順序になる。

一般に、Aの部分集合Bと、上のように得られる順序≦'とを組み合わせて得られる順序集合（B,≦'）を（A,≦）の部分順序集合という。（B,≦'）が（A,≦）の部分順序集合であることを

　　

と書く。

（B,≦'）⊂（A,≦）である必要十分条件は

　（１）　B⊂A

　（２）　Bの元b、b'に対してb≦'b'ならばb≦b'

 

 

 

 

§２　最大元、最小元、極大元、極小元

 

（A,≦）を順序集合とし、aをAの元とするとするとき、Aの最大元、最小元、極大元、極小元を次のように定義する。

　

Aの最大元、最小元をそれぞれmax A、min Aなどであらわす。最大元、最小元が存在すれば、それらは一意的に定まる。

また、最大元は極大元であるが、この逆は成立しない。最小元、極小元についても同様である。

(X,≦）を順序集合、AをXの部分集合とする。

　　

であるとき、Aは上に有界といい、aをAの上界という。Aの上界の最小のものが存在するとき、それをAの上限といい、記号

　　a=sup A

などであらわす。

同様に、

　　

であるとき、Aは下に有界といい、aをAの下界という。Aの下界の最大のものが存在するとき、それをAの下限といい、記号

a=inf A

などであらわす。

また、Aが上に下に有界であるとき、Aを有界であるという。

 

問　次のことを示せ。

（１）　自然数全体の集合Nと整数全体の集合Zは順序同型でない

（２）　整数全体の集合Zと有理数の全体の集合Qは順序同型でない

（３）　有理数全体の集合Qと実数全体の集合Rは順序同型でない

【解】

（１）　Nは最小元１をもつが、Zは最小限をもたないから

（２）　Qは稠密であるが、Zは稠密でないから。

QからZへの順序同型写像φがあるとし、1と2の原像をそれぞれa、b∈Qとすると、

　　

よって、

　　

であるが1と2の間に存在することになるが、整数全体の集合Zにそのような元は存在しない。

これは矛盾。したがって、ZとQは順序同型でない。

 

（３）　Qは可算集合、Rは非可算集合だから

（解答終）